[논문 리뷰] Construction of MRD Codes Based on Circular-Shift Operations

Zhe Zhai, Sheng Jin외 2명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 13.

Coding theory and cryptography인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 F_q 위의 원형 시프트 기반 MRD 코드를 제시하며 확장체의 산술을 피하고, 효율적인 인코딩과 Gabidulin 코드와의 상세한 비교를 제공합니다.

ABSTRACT

Most well-known constructions of $(N imes n, q^{Nk}, d)$ maximum rank distance (MRD) codes rely on the arithmetic of $\mathbb{F}_{q^N}$, whose increasing complexity with larger $N$ hinders parameter selection and practical implementation. In this work, based on circular-shift operations, we present a construction of $(J imes n, q^{Jk}, d)$ MRD codes with efficient encoding, where $J$ equals to the Euler's totient function of a defined $L$ subject to $\gcd(q, L) = 1$. The proposed construction is performed entirely over $\mathbb{F}_q$ and avoids the arithmetic of $\mathbb{F}_{q^J}$. We further characterize the constructed MRD codes, Gabidulin codes and twisted Gabidulin codes using a set of $q$-linearized polynomials over the row vector space $\mathbb{F}_{q}^N$, and clarify their inherent difference and connection. For the case $J eq m_L$, where $m_L$ denotes the multiplicative order of $q$ modulo $L$, we show that the proposed MRD codes, in a family of settings, are different from any Gabidulin code and any twisted Gabidulin code. For the case $J = m_L$, we prove that every constructed $(J imes n, q^{Jk}, d)$ MRD code coincides with a $(J imes n, q^{Jk}, d)$ Gabidulin code, yielding an equivalent circular-shift-based construction that operates directly over $\mathbb{F}_q$. In addition, we prove that under some parameter settings, the constructed MRD codes are equivalent to a generalization of Gabidulin codes obtained by summing and concatenating several $(m_L imes n, q^{m_Lk}, d)$ Gabidulin codes. When $q=2$, $L$ is prime and $n\leq m_L$, it is analyzed that generating a codeword of the proposed $((L-1) imes n, 2^{(L-1)k}, d)$ MRD codes requires $O(nkL)$ exclusive OR (XOR) operations, while generating a codeword of $((L-1) imes n, 2^{(L-1)k}, d)$ Gabidulin codes, based on customary construction, requires $O(nkL^2)$ XOR operations.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 선택 및 구현의 용이성을 위해 구성과 인코딩이 F_q 내부에서 유지되는 MRD 코드의 필요성을 제시합니다.
• n ≤ m_L ≤ J인 (J×n, q^{Jk}, d) MRD 코드를 얻는 원형 시프트 기반 구성을 제안합니다.
• MRD 특성과 효율적 구조를 보장하기 위한 P 행렬과 Q 행렬의 두 가지 실용적 설계를 제공합니다.
• 제안된 코드를 q-선형다항식 프레임워크로 표현하고 Gabidulin 및 twisted Gabidulin 코드와 특성화합니다.
• 새로운 코드가 Gabidulin 코드와 다르거나 일치하는 경우를 분석하고 특정 매개변수 범위에서의 계산 복잡성을 탐구합니다.

제안 방법

• 순환 순열 행렬로 구성된 k×n 블록 행렬 Ψ_{k×n}으로 원형 시프트 기반 랭크-메트릭 코드를 정의합니다.
• Δ 매핑을 사용하여 Jn 차원의 벡터를 J×n 행렬로 변환하고 C = {Δ(m(I_k⊗P)Ψ_{k×n}(I_n⊗Q)) : m ∈ F_q^{Jk}}를 형성합니다.
• G_L 구성 및 H_L 구성으로 MRD 특성을 보장하기 위해 U, U′ 및 Vandermonde 행렬을 통해 P ∈ F_q^{J×L} 및 Q ∈ F_q^{L×J}를 설계합니다.
• Gabidulin 코드를 q-선형다항식 프레임워크로 표현하고 쌍대 기저 및 등가 표현을 통해 새로운 원형 시프트 구성과의 관계를 연결합니다.
• 새로운 코드가 Gabidulin 또는 twisted Gabidulin 코드와 다르거나 일치하는 경우를 다항식 기반으로 특징화합니다(특히 J ≠ m_L 대 J = m_L).
• 제안된 모드에서 코드워드를 생성하는 데 필요한 XOR 수가 O(nkL)임을 제시하고, q=2, L 소수일 때의 복잡도 정보를 제공합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 시프트 기반 구성이 F_{q^{J}}의 산술 없이 MRD 특성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 코드가 Gabidulin 또는 twisted Gabidulin 코드와 다르거나 일치하는 매개변수 설정은 무엇인가?
• RQ3 특히 q=2 및 소수 L에 대해 원형 시프트 MRD 코드는 기존 Gabidulin 기반 구상에 비해 인코딩 복잡도 이점이 무엇인가?
• RQ4 G_L, H_L를 통한 P 및 Q 선택이 MRD 특성과 Gabidulin 코드와의 관계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 원형 시프트 기반 구성은 n ≤ m_L ≤ J인 (J×n, q^{Jk}, d) MRD 코드를 얻으며 F_q 위에서만 작동하고 F_{q^J} 산술을 피합니다.
• 코드는 F_q^N 위의 q-선형다항식 집합으로 특성화될 수 있으며, 평가 결과는 많은 매개변수 영역에서 Gabidulin 및 twisted Gabidulin 코드의 평가와 다릅니다.
• J ≠ m_L일 때 제안된 MRD 코드는 특정 설정에서 어떤 Gabidulin 또는 twisted Gabidulin 코드와도 다를 수 있으며, 명시적 예제가 서로 다른 경우와 일치하는 사례를 모두 보여줍니다.
• J = m_L일 때 각 제안된 MRD 코드는 Gabidulin 코드와 일치하며, F_q 위에서 작동하고 F_{q^{m_L}} 산술을 우회하는 원형 시프트 기반 구성을 제공합니다.
• 제안된 MRD 코드는 m_L×n 크기의 여러 Gabidulin 코드를 합성/연결하여 형성된 Gabidulin 코드의 일반화와 동등할 수 있으며, 코드 계통 간의 더 넓은 연관성을 드러냅니다.
• q=2, L 소수, 그리고 n ≤ m_L일 때 ((L-1)×n, 2^{(L-1)k}, d) MRD 코드의 코드워드 생성은 O(nkL) XOR이 필요하고, 대응 Gabidulin 코드는 O(nkL^2)이다.