[논문 리뷰] Construction of optimal locally repairable codes via automorphism groups of rational function fields

Lingfei Jin, Liming Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 26.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 12인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 유리 함수체의 자기동형군을 활용하여 소형 체 크기로 최적의 국소 복구 코드(LRCs)를 구성한다. PGL₂(q)의 부분군, 예를 들어 순환군과 양면체군을 이용함으로써, 반사 가능한 국소성과 코드 길이 n ≤ q+1를 만족하는 q-진 최적 LRCs를 명시적으로 구성한다.

ABSTRACT

Locally repairable codes, or locally recoverable codes (LRC for short) are designed for application in distributed and cloud storage systems. Similar to classical block codes, there is an important bound called the Singleton-type bound for locally repairable codes. In this paper, an optimal locally repairable code refers to a block code achieving this Singleton-type bound. Like classical MDS codes, optimal locally repairable codes carry some very nice combinatorial structures. Since introduction of the Singleton-type bound for locally repairable codes, people have put tremendous effort on constructions of optimal locally repairable codes. Due to hardness of this problem, there are few constructions of optimal locally repairable codes in literature. Most of these constructions are realized via either combinatorial or algebraic structures. In this paper, we employ automorphism groups of rational function fields to construct optimal locally repairable codes by considering the group action on the projective lines over finite fields. It turns out that we are able to construct optimal locally repairable codes with reflexibility of locality as well as smaller alphabet size comparable to the code length. In particular, we produce new families of $q$-ary locally repairable codes, including codes of length $q+1$ via cyclic groups and codes via dihedral groups.

연구 동기 및 목표

• 분산 저장 시스템을 위한 최적의 국소 복구 코드(LRCs)를 소형 체 크기와 효율적인 국소성으로 구성하는 데 도전한다.
• 기존의 구성 방식이 지수적으로 큰 체나 제한적인 국소성 조건을 요구하는 데서 비롯된 한계를 극복한다.
• 기하학적 대수학과 유리 함수체의 자기동형군을 활용하여 기존의 구성 방식을 일반화한다.
• 순환군과 양면체군을 포함한 PGL₂(q)의 부분군을 통해 최적 LRCs의 명시적이고 체계적인 구성 방법을 제공한다.
• PGL₂(q)에 크기가 r+1인 부분군이 존재할 조건에 기반하여, 길이 n ≤ q+1이고 국소성 r인 최적 LRCs가 존재하는지를 규명한다.

제안 방법

• 𝔽_q(x)의 자기동형군을 활용하여 𝔽_q 위의 사영 직선 위의 군 작용을 통해 LRCs를 구성한다.
• 순환군과 양면체군과 같은 PGL₂(q)의 부분군을 활용하여, 분할 및 분기 행동을 통제할 수 있는 함수체를 정의한다.
• 𝔽_q(z)의 계수를 가진 x의 다항식으로 이루어진 함수 공간 V를 정의한다. 여기서 z는 군 작용에 대해 불변인 함수이다.
• 함수 공간 V와 유리 점의 집합 𝔓로부터 산술 기하 코드 C(𝔓, V)를 구성함으로써 국소성과 최적성을 확보한다.
• 리만-로흐 정리를 사용하여 코드의 차원과 최소 거리를 추정하고, Singleton 유형의 경계에 도달함을 검증한다.
• 군 작용의 구조를 통해 각 좌표가 최대 r개의 다른 좌표로부터 복구 가능함을 보장함으로써 코드가 국소성 r을 가짐을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 방법을 사용하여 조합론적 또는 코드 이론적 구성 방식이 아닌 방식으로 최적의 국소 복구 코드를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 체 크기 q, 국소성 r, 길이 n에 대해 어떤 조건에서 q-진 최적 LRC가 존재하는가? 특히 체 크기가 코드 길이와 유사할 경우에 대해.
• RQ3 유리 함수체의 자기동형군이 LRCs에서 반사 가능한 국소성과 효율적인 복구를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 순환군과 양면체군을 포함한 PGL₂(q)의 부분군이 특정 매개변수를 가진 LRCs를 구성하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 이러한 구성 방식을 특정한 부분군을 넘어서 PGL₂(q)의 모든 부분군으로 일반화할 수 있으며, 최적성에 필요한 필수 및 충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• PGL₂(q)에 크기가 r+1인 부분군이 존재하고 (r+1)가 n을 나누는 한, 길이 n ≤ q+1이고 국소성 r인 최적 LRCs가 존재한다.
• 순환군과 양면체군을 포함한 PGL₂(q)의 부분군을 사용하여 q-진 최적 LRCs의 명시적 구성이 가능하며, Singleton 유형의 경계에 도달한다.
• q = 16일 때, 국소성 5인 최적 [12, 5t, 14−6t]-LRCs의 가족이 1 ≤ t ≤ 2 범위에서 구성된다.
• q = 64일 때, 국소성 5인 최적 64-진 LRCs의 매개변수 [60, 5t, 62−6t] (1 ≤ t ≤ 10), 국소성 13인 [56, 13t, 58−14t] (1 ≤ t ≤ 4), 국소성 17인 [54, 17t, 56−18t] (1 ≤ t ≤ 3)의 구성이 이루어진다.
• q = 64이고 h | 65일 때, 국소성 9인 최적 64-진 LRCs의 매개변수 [50, 9t, 52−10t] (1 ≤ t ≤ 5)와 국소성 25인 [26, 25, 2]의 구성이 이루어진다.