[논문 리뷰] Construction of perfect tensors using biunimodular vectors

Suhail Ahmad Rather|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오랜 기간 동안 코드 기반 또는 그래프 상태 기반 접근 방식 외에 해결되지 않았던 AME(4,6) 상태의 존재 문제를 해결하기 위해, 국소 차원 6에서 완전 텐서와 이중 유니터리 게이트를 새로운 분석적·수치적 방법으로 구성한다. 핵심은 이중단조(2D)의 단조 배열로, 이들의 이산 푸리에 변환도 단조인 '이중단조 벡터'를 사용하는 것이다. 이 방법은 제어 유니터리 회로로 실현 가능한 완전 텐서를 제공하며, 이는 오랜 숙제였던 AME(4,6) 존재성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Dual unitary gates are highly non-local two-qudit unitary gates that have been studied extensively in quantum many-body physics and quantum information in the recent past. A special class of dual unitary gates consists of rank-four perfect tensors that are equivalent to highly entangled multipartite pure states called absolutely maximally entangled (AME) states. In this work, numerical and analytical constructions of dual unitary gates and perfect tensors that are diagonal in a special maximally entangled basis are presented. The main ingredient in our construction is a phase-valued (unimodular) two-dimensional array whose discrete Fourier transform is also unimodular. We obtain perfect tensors for several local Hilbert space dimensions, particularly, in dimension six. A perfect tensor in local dimension six is equivalent to an AME state of four qudits, denoted as AME(4,6). Such a state cannot be constructed from existing constructions of AME states based on error-correcting codes and graph states. An explicit construction of AME(4,6) states is provided in this work using two-qudit controlled and single-qudit gates making it feasible to generate such states experimentally.

연구 동기 및 목표

• 에러 수정 코드, 조합 설계, 그래프 상태 기반 접근 방식으로도 해결되지 않았던, AME(4,6) 상태 존재성 문제를 해결하기 위해.
• 특히 국소 차원 d=6에 대해, 최대 얽힘 기저에서 대각화되는 완전 텐서와 이중 유니터리 게이트를 구성하는 새로운 방법을 개발하기 위해.
• 이중단조 벡터와 제어 유니터리 연산을 활용하여, 국소 차원 6에서 명시적이고 회로 우호적인 완전 텐서 구성법을 제공하기 위해.
• 특히 d=6에서 인수 분해 가능한 해가 실패하는 경우에 해당하는 짝수 차원에서의 이중단조 벡터의 구조를 탐구하기 위해.
• 이중단조 벡터와 크기 36인 2-유니터리 복소 허미트 행렬 간의 연결 고리를 확립하기 위해, 이는 이전에 이뤄지지 않은 구성이다.

제안 방법

• 완전 텐서 구성의 핵심 요소로, 이산 푸리에 변환도 단조인 2D 단조 배열인 이중단조 벡터를 활용한다.
• 웨일-헤이젠베르크 최대 얽힘 기저에서 대각화되는 유니터리 연산자로서, 이중단조 벡터 Λ로 매개변수화된 이중 유니터리 게이트를 구성한다.
• 푸리에 게이트 F₆, 일반화된 CNOT(제어 순열) 게이트 P, 그리고 대각 유니터리 D(Λ)를 포함하는 회로 분해를 활용하여, 𝒰(Λ) = P(F₆⊗I)D(Λ)(F₆†⊗I)Pᵀ 형태를 도출한다.
• 더 단순한 양자 회로 구현을 위해 대칭형 변형 𝒰′(Λ) = P(F₆⊗I)D(Λ)(F₆⊗I)P를 도입하지만, 이는 최대 얽힘 기저에서의 대각화 성질을 상실한다.
• 푸리에 게이트를 통한 캔지조네이션을 통해, 이전 방법으로는 달성하지 못했던 크기 36인 2-유니터리 복소 허미트 행렬을 𝒰_CHM(Λ) = (F₆⊗I)𝒰(Λ)(F₆†⊗I) 형태로 도출한다.
• 수치적 및 분석적 기법을 통해, 길이 6인 인수 분해 가능한 이중단조 벡터로는 국소 차원 6에서 완전 텐서를 도출할 수 없음을 입증하여, 이 해의 비자명성을 확인한다.

Figure 3: Top : (Left) The (normalized) distribution of $\Delta(U^{R}):=||U^{R}U^{R\dagger}-\mathbb{I}||$ (where $||\cdots||$ is the Frobenius norm) is shown in the inset for random unitaries obtained from random unimodular vectors of length 9 consisting of entries $e^{i\theta_{ab}}$ with $\theta_{a

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 코드 기반 및 조합 설계 기반 방법이 실패한 상황에서, 국소 차원 6의 완전 텐서(즉, AME(4,6) 상태)를 이중단조 벡터로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이중단조 벡터는 최대 얽힘 기저에서 대각화되는 이중 유니터리 게이트 생성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 왜 짝수 차원, 특히 d=6에서는 인수 분해 가능한 이중단조 벡터가 완전 텐서를 유도하지 못하는가? 홀수 차원에서는 작동하는 데 비해.
• RQ4 크기 36인 2-유니터리 복소 허미트 행렬을 명시적으로 구성할 수 있으며, 이는 이중단조 벡터에서 유래하는가?
• RQ5 이중단조 배열과 아벨 군 내의 차분 집합 사이에 구조적 대응 관계가 존재하는가? 이는 이전에 알려진 이진 수열에 대한 결과를 일반화하는가?

주요 결과

• 이 논문은 국소 차원 6에서 완전 텐서를 구성하는 최초의 명시적 방법을 제공하며, 이는 이전에 해결되지 않았던 AME(4,6) 상태 존재성 문제를 해결한다.
• 길이 6인 48개의 이중단조 벡터를 모두 수치적으로 검토한 결과, 48² = 2,304개의 인수 분해 조합 중 어느 것도 완전 텐서를 유도하지 못했으며, 이는 국소 차원 6에서의 해의 비자명성을 확인한다.
• 구성된 완전 텐서는 제어 유니터리 게이트를 사용한 양자 회로 표현을 갖는다. 그 형태는 𝒰′(Λ) = P(F₆⊗I)D(Λ)(F₆⊗I)P이며, 실험적 실현 가능성을 보장한다.
• 푸리에 게이트를 통한 캔지조네이션을 통해, 이전 방법으로는 달성하지 못했던 크기 36인 2-유니터리 복소 허미트 행렬을 도출한다.
• 홀수 차원인 d=3 및 d=5에서는 인수 분해 가능한 이중단조 벡터가 완전 텐서를 유도하지만, 짝수 차원에서는 실패함을 보여, 이는 구조적 차이를 드러낸다.
• 이 방법은 이중유니터리 조합을 통해 통합적 프레임워크를 제공하며, 제어 유니터리 및 푸리에 게이트를 포함한 이중유니터리 연산의 시퀀스로부터 완전 텐서를 구성할 수 있음을 보여준다.

Figure 4: Top : (Left) Absolute values of the non-zero entries of the perfect tensor $\mathcal{U}(\Lambda_{1})$ obtained from the biunimodular vector $\Lambda_{1}$ are shown in the computational basis. (Right) The block-structure determined by the non-zero entries consists of $6\times 6$ unitary mat