[논문 리뷰] Construction of scalar and vector finite element families on polygonal and polyhedral meshes

Andrew Gillette, Alexander Rand외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 볼록 다각형 및 다면체 메esh에서 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 일치하는 스칼라 및 벡터 유한요소 기저를 구성하며, 고전적인 Nédélec, Raviart-Thomas, 그리고 Brezzi-Douglas-Marini 요소들을 단순형 메쉬를 초월하여 확장한다. 이 방법은 미분형식의 정확한 전역 연속성과 다항식 재현성을 보장하며, 증명 가능하고 수렴성이 보장된 비단순형 요소로 윌리엄스 형식을 일반화한다.

ABSTRACT

We combine theoretical results from polytope domain meshing, generalized barycentric coordinates, and finite element exterior calculus to construct scalar- and vector-valued basis functions for conforming finite element methods on generic convex polytope meshes in dimensions 2 and 3. Our construction recovers well-known bases for the lowest order N\\'ed\\'elec, Raviart-Thomas, and Brezzi-Douglas-Marini elements on simplicial meshes and generalizes the notion of Whitney forms to non-simplicial convex polygons and polyhedra. We show that our basis functions lie in the correct function space with regards to global continuity and that they reproduce the requisite polynomial differential forms described by finite element exterior calculus. We present a method to count the number of basis functions required to ensure these two key properties.

연구 동기 및 목표

• 비정규 다각형 및 다면체 메쉬에서 고전적인 유한요소를 단순형 요소를 초월하여 일반화하는 일치하는 유한요소 방법을 개발한다.
• 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 비단순형 볼록 다포리드에 대한 유한요소 외적계산 이론을 확장한다.
• 전역 연속성을 유지하고 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 및 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 공간에 필요한 다항식 미분형식을 재현하는 국소 기저 함수를 구성한다.
• 다각형 메쉬에서 연속성과 다항식 재현 요구사항을 충족시키기 위해 필요한 기저 함수의 수를 체계적으로 계산하는 방법을 제공한다.
• 요소 간 연속성에 영향을 주지 않는 축약 가능한 기저 성분을 식별하여 복잡한 메쉬에서 실용적인 유한요소 방법을 가능하게 한다.

제안 방법

• 볼록 다포리드에서 일반화된 바리센트 좌표—와흐스프레스, 시브슨, 조화, 평균값—를 사용하여 스칼라 및 벡터 유한요소의 국소 기저 함수를 정의한다.
• 기저 함수를 바리센트 좌표와 그 기울기 또는 컬의 곱으로 구성하여, 유한요소 외적계산에서 미분형식과의 호환성을 확보한다.
• 다포리드 메쉬 및 일반화된 바리센트 좌표 이론적 결과를 적용하여, 결과 기저 함수가 올바른 함수 공간($H^1$, $H(\text{curl})$, $H(\text{div})$)에 속하도록 보장한다.
• 각 미분형식 차수 $k$ 및 메쉬 차원 $n=2,3$에 대해 필요한 기저 함수 수를 명시적인 공식으로 유도하며, 총합, 경계, 다항식 재현 성분을 구분한다.
• 정점, 변, 면 수를 기반으로 한 계수 절차를 도입하여 기저 크기를 측정하고, 요소 간 연속성에 기여하지 않는 중복 기저를 식별한다.
• 기저 함수가 다각형 메쉬에서 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 및 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 다항식 미분형식을 재현함을 증명함으로써 구성의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 임의의 볼록 다각형 및 다면체 메쉬에서 스칼라 및 벡터 문제에 대한 일치하는 유한요소 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ2 결과 기저 함수가 비단순형 요소에서 정확한 전역 연속성 특성($H^1$, $H(\text{curl})$, $H(\text{div})$)를 유지하는가?
• RQ3 기저 함수가 다각형 및 다면체 메쉬에서 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 및 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 공간의 다항식 미분형식을 재현할 수 있는가?
• RQ4 연속성과 다항식 재현을 충족시키기 위해 필요한 최소 기저 함수 수는 얼마이며, 중복성을 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ5 기저 크기는 메쉬 복잡성에 따라 어떻게 변화하며, 연속성에 영향을 주지 않으면서 상당한 축약을 할 수 있는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 이 구성은 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 고전적인 최소차수 유한요소(Nédélec, Raviart-Thomas, BDM)를 비단순형 볼록 다각형 및 다면체로 일반화한다.
• $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 및 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 공간의 기저 함수가 구성되었으며, 올바른 함수 공간에 속하고 필요한 전역 연속성을 보장함을 증명하였다.
• 3차원에서의 육면체 요소의 경우 $\mathcal{P}_1\Lambda^1$ 기저는 56개의 함수를 포함하지만, 요소 간 연속성을 확보하는 데는 48개만 필요하므로 기저 축약이 가능함을 시사한다.
• 다각형 및 다면체에서 $k=2$의 경우 요소 간 연속성이 요구되지 않기 때문에 전체 기저 크기 필요 없으며, 이는 불연속 갈레르킨 방법이 더 실용적일 수 있음을 의미한다.
• $k=0$ 기저는 축약될 수 없으며, 각 기저 함수 $\lambda_i$ 가 $H^1$-연속성에 기여하기 때문이다. 그러나 비단순형 요소에서 $k=1$ 및 $k=2$의 경우 기저 크기의 상당한 축약이 가능하다.
• 정점, 변, 면 기여도를 기반으로 한 명시적 공식을 제공하여 기저 크기 및 중복성의 체계적 분석이 가능해졌다.