[논문 리뷰] Construction of type ${ m II_1}$ factors with prescribed countable fundamental group

Cyril Houdayer|ArXiv.org|2007. 04. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유 확률 이론과 패피아의 변형/고정 이론에 뿌리를 두고 있는 두 가지 새로운 방법을 사용하여 임의로 지정된 가산 기본군을 가진 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인을 구성한다. 첫째, $w$-고정된 군(예: $\mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$)의 $s$-유연성 있고 자유롭게 혼합되는 작용을 자유 아라키-우드스 요인에 적용하여, 기본군이 주어진 가산 부분군 $\mathbf{R}^*_+$ 와 일치하는 교차곱 요인을 생성한다. 둘째, 유형 I 요인과의 자유곱을 통해 이러한 요인을 구성하며, 이 경우 기본군은 상태의 점 스펙트럼에 의해 결정된다. 핵심 기여는 임의의 가산 기본군을 $\mathrm{II_1}$ 요인에서 명시적으로 실현한 것이다.

ABSTRACT

In the context of Free Probability Theory, we study two different constructions that provide new examples of factors of type ${ m II_1}$ with prescribed fundamental group. First we investigate state-preserving group actions on the almost periodic free Araki-Woods factors satisfying both a condition of mixing and a condition of free malleability in the sense of Popa. Typical examples are given by the free Bogoliubov shifts. Take an ICC $w$-rigid group $G$ such that $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ (e.g. $G = \Z^2 times \SL(2, \Z)$). For any countable subgroup $S \subset \R^*_+$, we show that there exists an action of $G$ on $L(\F_\infty)$ such that $L(\F_\infty) times G$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $S$. The second construction is based on a free product. Take $(B(H), ψ)$ any factor of type ${ m I}$ endowed with a faithful normal state and denote by $Γ\subset \R^*_+$ the subgroup generated by the point spectrum of $ψ$. We show that the centralizer $(L(G) \ast B(H))^{τ\ast ψ}$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $Γ$. Our proofs rely on Popa's deformation/rigidity strategy using his intertwining-by-bimodules technique.

연구 동기 및 목표

• 주어진 가산 부분군 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 와 일치하는 기본군을 가진 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인을 구성하는 것.
• s-유연성 있고 자유롭게 혼합되는 작용을 자유 아라키-우드스 요인에 적용하여 패피아의 변형/고정 전략을 자유 확률 설정으로 확장하는 것.
• 교차곱과 자유곱을 각각 사용하는 두 가지 서로 다른 구성 방법을 제공하여, 지정된 기본군을 가진 요인을 도출하는 것.
• 자유곱 구성에서 유형 I 요인의 상태의 점 스펙트럼과 일치하는 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인의 기본군을 만들 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 거의 주기적인 자유 아라키-우드스 요인에 대한 $w$-고정된 군의 $s$-유연성 있고 자유롭게 혼합되는 작용을 활용하며, 패피아의 이중 모듈러스 기법을 적용한다.
• 작용의 유연성과 $w$-고정된 군의 상대적 $(T)$ 성질을 조합하여 변형/고정 전략을 적용한다.
• 기본군이 $S$ 가 되도록 보장하는 $L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$ 형태의 교차곱을 구성하며, 여기서 $G$ 는 $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ 인 $w$-고정된 군이다.
• 유형 I 요인 $(B(H), \psi)$ 와 군 요인 $L(G)$ 를 포함하는 자유곱 구성에서, 중심자 $(L(G) * B(H))^{\tau * \psi}$ 의 기본군은 상태 $\psi$ 의 점 스펙트럼에 의해 생성된 부분군 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 와 일치한다.
• 바나흐 대수의 모듈러 이론을 활용하며, 이는 모듈러 연산자 $\Delta_\varphi$, 모듈러 켤레 연산자 $J_\varphi$, 그리고 대수에 연관된 연산자의 극분해를 포함한다.
• GNS 구성에서 내적을 통해 정의된 연산자 $T_\xi$ 의 닫힘성과 $\mathcal{M}$-소속성을 스펙트럼 성질과 모듈러 자동형군과의 교환성에 근거하여 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의로 지정된 가산 기본군을 가진 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인을 구성할 수 있는가?
• RQ2 자유 아라키-우드스 요인에 대한 $s$-유연성 있고 자유롭게 혼합되는 작용을 어떻게 활용하여 임의의 기본군을 실현할 수 있는가?
• RQ3 상태의 점 스펙트럼이 자유곱 바나흐 대수의 기본군을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 자유곱을 텐서곱 대신 사용함으로써 변형/고정 전략을 자유 확률 설정으로 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 자유곱 요인의 중심자가 상태의 점 스펙트럼에서 유래된 부분군의 기본군 구조를 어떻게 상속하는가?

주요 결과

• 모든 가산 부분군 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 에 대해 기본군 $\mathcal{F}(M) = S$ 를 가진 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인이 존재한다.
• 기본군이 $S$ 와 일치하는 요인이 되도록 보장하는 교차곱 $L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$ 는 $G = \mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$ 이고, $G$ 가 $L(\mathbf{F}_\infty)$ 에 대해 $s$-유연성 있고 자유롭게 혼합되는 작용을 할 경우 성립한다.
• 기본군이 상태 $\psi$ 의 점 스펙트럼에 의해 생성된 부분군 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 와 일치하는 중심자 $(L(G) * B(H))^{\tau * \psi}$ 는 유형 $\mathrm{II_1}$ 요인이다.
• GNS 구성에서 정의된 연산자 $T_\xi$ 는 닫힘성과 $\mathcal{M}$-소속성을 가지며, 그 극분해의 부분 $v$ 는 $\mathcal{M}^\gamma$ 에 속한다. 여기서 $\gamma$ 는 $\mathcal{M}$ 의 스펙트럼에 속한다.
• 모듈러 자동형군 $\sigma_t^\varphi$ 는 $T_\xi$ 의 유니터리 부분 $v$ 에 대해 $\sigma_t^\varphi(v) = \gamma^{it}v$ 를 만족하며, 이는 $v \in \mathcal{M}^\gamma$ 를 확인한다.
• 대수 $B$ 의 여집합이 $\mathcal{M}^\varphi$ 에서 $v$ 와 교환 가능하며, $B$ 가 $\xi$ 와 교환 가능할 경우 $v$ 는 $B$ 의 여집합에 속한다.