[논문 리뷰] Construction of warped time-frequency representations on nonuniform frequency scales, Part II: Integral transforms, function spaces, atomic decompositions and Banach frames

Nicki Holighaus, Christoph Wiesmeyr외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 18.

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한 줄 요약

이 논문은 원형 함수를 조절, 이동 및 비선형 왜곡을 통해 유도된 왜곡된 시간-주파수 원자들을 사용하는 연속 선형 시간-주파수 변환의 가족을 제안한다. 이는 가역성, 연속성 및 일반화된 공직공간 구조를 수립하고, 미묘한 조건 하에 하향 샘플링된 시스템에 대해 원자 분해와 바나흐 프레임을 증명하며, 고전적 변환인 단기 푸리에 변환과 웨이블릿 변환을 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

We present a novel family of continuous linear time-frequency transforms adapted to a multitude of (nonlinear) frequency scales. Similar to classical time-frequency or time-scale representations, the representation coefficients are obtained as inner products with the elements of a continuously indexed family of time-frequency atoms. These atoms are obtained from a single prototype function, by means of modulation, translation and warping. By warping we refer to the process of nonlinear evaluation according to a bijective, increasing function, the warping function. Besides showing that the resulting integral transforms fulfill certain basic, but essential properties, such as continuity and invertibility, we will show that a large subclass of warping functions gives rise to families of generalized coorbit spaces, i.e. Banach spaces of functions whose representations possess a certain localization. Furthermore, we obtain sufficient conditions for subsampled warped time-frequency systems to form atomic decompositions and Banach frames. To this end, we extend results previously presented by Fornasier and Rauhut to a larger class of function systems via a simple, but crucial modification. The proposed method allows for great flexibility, but by choosing particular warping functions we also recover classical time-frequency representations, e.g. $F(t) = ct$ provides the short-time Fourier transform and $F(t)=\log_a(t)$ provides wavelet transforms. This is illustrated by a number of examples provided in the manuscript.

연구 동기 및 목표

• 비선형 주파수 스케일에 적응하는 유연한 연속 시간-주파수 변환의 가족을 개발하는 것.
• 제안된 적분 변환의 가역성과 연속성에 대한 이론적 기초를 확립하는 것.
• 해당 변환과 관련된 함수공간(일반화된 공직공간)을 특성화하는 것.
• 하향 샘플링된 왜곡된 시스템이 원자 분해와 바나흐 프레임을 형성할 수 있는 충분한 조건을 도출하는 것.
• 적절한 왜곡 함수를 통해 고전적 시간-주파수 표현들을 하나의 프레임워크로 통합하는 것.

제안 방법

• 단일 원형 함수에 조절, 이동 및 왜곡(단사적이고 증가하는 함수를 통해)을 적용하여 시간-주파수 원자를 구성한다.
• 신호와 이러한 왜곡된 원자 간의 내적을 정의하여 표현 계수를 산출하는 적분 변환을 정의한다.
• Fornasier와 Rauhut의 프레임워크를 수정하여 원자 분해 및 바나흐 프레임 결과를 왜곡된 시스템으로 확장한다.
• 기능 해석 도구를 사용하여 연속성과 가역성 측면에서 결과로 얻어진 변환을 분석한다.
• 왜곡 함수에 대한 미묘한 조건 하에 관련 함수공간을 일반화된 공직공간으로 특성화한다.
• 특정 왜곡 함수가 알려진 변환을 복원함을 보여준다: 선형 왜곡은 단기 푸리에 변환을, 로그 왜곡은 웨이블릿 변환을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜곡 변환을 통해 비균일하고 비선형적인 주파수 스케일로 시간-주파수 표현을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 왜곡된 시간-주파수 시스템이 어떤 조건에서 원자 분해와 바나흐 프레임을 형성하는가?
• RQ3 제안된 왜곡된 적분 변환과 자연스럽게 관련된 함수공간은 무엇인가?
• RQ4 제안된 변환은 단기 푸리에 변환과 웨이블릿 변환과 같은 고전적 시간-주파수 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 왜곡된 변환이 만족하는 구조적 성질들—예를 들어 연속성과 가역성—은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 왜곡된 시간-주파수 변환은 광범위한 종류의 왜곡 함수에 대해 연속적이고 가역적이다.
• 왜곡 함수의 큰 부분집합은 일반화된 공직공간을 유도하며, 표현이 국소화된 함수를 특성화한다.
• 하향 샘플링된 왜곡된 시스템이 원자 분해와 바나흐 프레임을 형성할 수 있는 충분한 조건이 확립되었으며, 이는 이전 결과를 더 넓은 범주로 확장한다.
• 왜곡 함수가 선형일 경우(F(t) = ct) 프레임워크는 단기 푸리에 변환을 복원한다.
• 왜곡 함수가 로그일 경우(F(t) = log_a(t)) 프레임워크는 연속 웨이블릿 변환을 복원한다.
• 이 방법은 비선형 주파수 스케일을 통해 고전적 시간-주파수 표현을 일반화하는 통합된 이론적 프레임워크를 제공한다.