[논문 리뷰] Construction of Z4-linear Reed-Muller codes

Jaume Pujol, Josep Rifà외 1명|ArXiv.org|2008. 01. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 4진 플롯킨 유형의 구성 방식을 통해 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 리드-멀러 코드의 새로운 가족을 제안하며, 그레이나 맵을 통해 결과적으로 생성된 이진 코드가 고전적인 이진 선형 리드-멀러 코드의 매개수와 구조적 성질(이중성 및 포함 관계 포함)을 그대로 유지함을 보장한다. 주요 기여는 1차 및 $(m-2)$차 코드가 각각 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 하다르드 및 확장된 1-완전 코드로 사상되는 체계적인 구성 방식이다.

ABSTRACT

New quaternary Plotkin constructions are given and are used to obtain new families of quaternary codes. The parameters of the obtained codes, such as the length, the dimension and the minimum distance are studied. Using these constructions new families of quaternary Reed-Muller codes are built with the peculiarity that after using the Gray map the obtained Z4-linear codes have the same parameters and fundamental properties as the codes in the usual binary linear Reed-Muller family. To make more evident the duality relationships in the constructed families the concept of Kronecker inner product is introduced.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 이진 선형 리드-멀러(RM) 코드의 매개수와 근본적인 성질을 그대로 재현하는 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드의 새로운 가족을 구축하기 위해.
• 이진 플롯킨 구성 방식을 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드의 4진 영역으로 일반화하여 RM 유사 가족을 체계적으로 생성할 수 있도록 하기 위해.
• 이중성 관계를 크로네커 내적을 사용하여 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 설정에서 정의함으로써 이진 RM 코드의 이중성과 유사하게 유지하기 위해.
• 새로운 가족에서 1차 및 $(m-2)$차 코드가 그레이나 맵을 통해 각각 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 하다르드 및 확장된 1-완전 코드로 사상되도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 크로네커 곱을 기반으로 한 새로운 4진 플롯킨 구성 방식을 도입하여, 이진 플롯킨 방법을 ${\mathbb{Z}}_4$로 일반화한다.
• 재귀적 행렬 구성 방식을 사용하여 $0 \leq r \leq m$ 및 $0 \leq s \leq \lfloor (m-1)/2 \rfloor$ 인 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드의 새로운 가족 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$을 정의한다.
• 크로네커 내적을 도입하여 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 설정에서의 이중성을 정의함으로써 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$와 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$가 서로 이중 코드가 되도록 보장한다.
• 그레이나 맵 $\Phi$를 적용하여 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드를 이진 코드로 변환함으로써 길이, 차원, 최소 거리가 유지된다.
• 단항 등가성을 사용하여 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$와 동치인 다른 코드 가족 $\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$를 구성함으로써, 표준 내적 하에서 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$와 이중 관계를 이루도록 한다.
• 유도적 방법으로 구성 과정을 검증하여, 결과적으로 생성된 코드들이 고전적인 이진 RM 코드와 동일한 포함 관계, 이중성 및 매개수 성질을 만족함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4진 플롯킨 구성의 일반화가 고전적인 이진 선형 리드-멀러 코드의 매개수를 그대로 재현하는 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 가족에서 1차 및 $(m-2)$차 코드가 그레이나 맵을 통해 각각 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 하다르드 및 확장된 1-완전 코드로 사상되는가?
• RQ3 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 설정에서 이중성 관계를 정의할 수 있는가? 이 관계가 이진 RM 코드의 이중성과 유사하게 유지되는가?
• RQ4 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 코드의 가족을 구성할 수 있는가? 이 가족은 이진 RM 코드와 동일한 포함 관계, 차원, 최소 거리의 진행 양상을 보이는가?

주요 결과

• 구성된 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 리드-멀러 코드 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$는 길이 $n = 2^m$, 차원 $k = \sum_{i=0}^r \binom{m}{i}$, 최소 거리 $d = 2^{m-r}$ 를 가지며, 고전적인 이진 RM 코드의 매개수와 정확히 일치한다.
• 1차 코드 ${\mathcal{RM}}_s(1,m)$는 그레이나 맵을 통해 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 하다르드 코드로 사상되며, $(m-2)$차 코드 ${\mathcal{RM}}_s(m-2,m)$는 ${\mathbb{Z}}_4$-선형 확장된 1-완전 코드로 사상된다.
• ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$와 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$는 크로네커 내적 하에서 이중 코드이며, 이는 이진 RM 코드의 이중성과 정확히 유사하게 유지된다.
• ${\mathcal{RM}}_s(0,m)$는 전부 2로 이루어진 벡터로 생성되는 반복 코드이며, ${\mathcal{RM}}_s(m,m)$는 전체 공간 ${\mathbb{Z}}_4^{2^{m-1}}$ 이다.
• ${\mathcal{RM}}_s(r-1,m)$는 $r > 0$ 일 때 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$의 부분코드이며, 이는 이진 RM 코드의 포함 계층을 그대로 유지한다.
• 단항 등가성을 사용하여 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$와 동치인 다른 코드 가족 $\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$를 구성하였으며, 이 가족은 표준 내적 하에서 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$와 이중 관계를 이룬다.