[논문 리뷰] Constructions of complementary sequence sets and complete complementary codes by 2-level autocorrelation sequences and permutation polynomials

Zilong Wang, Guang Gong|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 12.

PAPR reduction in OFDM참고 문헌 39인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 순열 다항식, 2단계 자기상관 시퀀스, 일반화된 레이드-멀러(GRM) 코드를 연결하는 새로운 대수적 프레임워크를 제안하여 보완 시퀀스 집합(CSS)과 완전 보완 코드(CCC)를 구성한다. 버슨 유형 히트만 매트릭스의 구조와 시퀀스의 추적 표현을 활용하여, CSS 및 CCC 구성에서 δ-이차항이 순열 다항식의 곱으로 발생함을 규명함으로써, CCC와 2단계 자기상관 시퀀스 간의 관계에 대한 열린 문제를 해결하고, 낮은 PMEPR와 강력한 오류 수정 능력을 갖춘 새로운 구성법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, a recent method to construct complementary sequence sets and complete complementary codes by Hadamard matrices is deeply studied. By taking the algebraic structure of Hadamard matrices into consideration, our main result determine the so-called $δ$-linear terms and $δ$-quadratic terms. As a first consequence, a powerful theory linking Golay complementary sets of $p$-ary ($p$ prime) sequences and the generalized Reed-Muller codes by Kasami et al. is developed. These codes enjoy good error-correcting capability, tightly controlled PMEPR, and significantly extend the range of coding options for applications of OFDM using $p^n$ subcarriers. As another consequence, we make a previously unrecognized connection between the sequences in CSSs and CCCs and the sequence with 2-level autocorrelation, trace function and permutation polynomial (PP) over the finite fields.

연구 동기 및 목표

• 보완 시퀀스 집합(CSS)과 완전 보완 코드(CCC) 그리고 2단계 자기상관 시퀀스, 추적 함수, 순열 다항식(PPs) 간의 이론적 연결 고리를 확립하기.
• 패터슨과 타로코프(2000)가 제기한, CSS/CCC 내 시퀀스와 2단계 자기상관 시퀀스 간의 구조적 연결 고리에 대한 열린 문제를 해결하기.
• 버슨 유형 히트만 매트릭스의 대수적 구조와 δ-선형/δ-이차항을 이용한 CSS 및 CCC의 체계적 구성 방법을 개발하기.
• p-진 시퀀스를 활용하여 제어 가능한 PMEPR와 강력한 오류 수정 능력을 갖춘 구성법을 가능하게 함으로써 OFDM 시스템의 코드 선택 범위를 확장하기.

제안 방법

• 논문은 버슨 유형 히트만(BH) 매트릭스의 대수적 구조를 사용하여 CSS 및 CCC 구성에서의 δ-선형 및 δ-이차항을 명시적으로 특성화한다.
• CSS 및 CCC 내 시퀀스는 유한체 위의 추적 함수를 통해 표현되며, 2단계 자기상관 시퀀스의 추적 표현을 사용하여 BH 매트릭스를 생성한다.
• δ-이차항은 유한체 F_{p^n} 위의 순열 다항식(PPs)의 곱으로 유도되며, 핵심 통찰은 F_{p^n} 위의 임의의 두 PPs가 유효한 δ-이차항을 생성한다는 것이다.
• p=2인 경우, 이 방법은 이중사상 일반화 불리안 함수(GBFs)를 활용하여 순열 함수를 실현하고, 홀수 소수 p인 경우 F_p 위의 PPs를 사용한다.
• 이 구성은 가사미 등이 제안한 일반화된 레이드-멀러(GRM) 코드에 기반하며, δ-선형항은 (p-1)차수 제2형 GRM 코드의 선형 부분공간을 이룬다.
• 크로네커-델타 기저 함수를 유한체와 PPs의 대수적 구조로 대체함으로써 브루트 포스 계산을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히트만 매트릭스의 대수적 구조를 활용하여 CSS 및 CCC 구성에서의 δ-선형 및 δ-이차항을 어떻게 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 CSS 및 CCC 내 시퀀스와 2단계 자기상관 시퀀스, 추적 함수, 유한체 위의 순열 다항식 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 유한체 이론을 활용하여 CCC와 2단계 자기상관 시퀀스 간의 구조적 연결 고리를 해결할 수 있는가?
• RQ4 구성된 CSS 및 CCC의 오류 수정 능력은 그들의 대수적 구조와 해밍 거리와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 기존의 2단계 자기상관 시퀀스와 PPs로부터 어떤 새로운 낮은 PMEPR의 OFDM 시스템용 시퀀스 구성법을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 길이 p^m인 p-진 시퀀스의 δ-선형항은 (p-1)차수 제2형 일반화된 레이드-멀러 코드의 선형 부분공간을 이루며, 총 p^{m(p-1)+1}개의 원소를 포함한다.
• δ-이차항은 F_{p^n} 위의 임의의 두 순열 다항식의 곱으로 명시적으로 표현되며, 이는 새로운 CSS 및 CCC의 체계적 구성 가능성을 보장한다.
• p=2인 경우 δ-이차항은 이중사상 일반화 불리안 함수에 의해 생성되고, 홀수 소수 p인 경우 F_p 위의 PPs에 의해 유도된다.
• 구성된 CSS 내 두 서로 다른 시퀀스 간의 해밍 거리는 최소 3p^{m-2} 이상이므로, 강력한 오류 수정 능력을 갖춘다.
• 논문은 패터슨과 타로코프(2000)가 제기한 열린 문제를 직접적인 대수적 연결 고리를 확립함으로써 완전한 해결책을 제시한다.
• 이 프레임워크는 기존의 2단계 자기상관 시퀀스, 예를 들어 m-시퀀스, GMW 시퀀스, 3항 시퀀스 등을 활용하여 낮은 PMEPR를 갖는 새로운 CSS 및 CCC의 구성이 가능하게 한다.