[논문 리뷰] Constructions of $k$-uniform states from mixed orthogonal arrays

Fei Shi, Yi Shen외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 07.

Optimal Experimental Design Methods참고 문헌 50인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 혼합 직교 배열을 사용하여 이질적 양자 시스템에서 $k$-균일 양자 상태의 새로운 구성법을 제시하며, 이러한 시스템에서 3-균일 상태의 첫 번째 명시적 가족을 확립한다—이는 2016년에 제기된 열린 질문에 대한 답이다. 또한 $k$-균일 상태로부터 $(k-1)$-균일 상태를 생성하는 방법을 제안하고, 특정 $k$-균일 기저가 국소적으로 구별 불가능하다는 것을 보여주며, 얽힘을 동반한 양자 비국소성을 드러낸다.

ABSTRACT

We study $k$-uniform states in heterogeneous systems whose local dimensions are mixed. Based on the connections between mixed orthogonal arrays with certain minimum Hamming distance, irredundant mixed orthogonal arrays and $k$-uniform states, we present two constructions of $2$-uniform states in heterogeneous systems. We also construct a family of $3$-uniform states in heterogeneous systems, which solves a question posed in [D. Goyeneche et al., Phys. Rev. A 94, 012346 (2016)]. We also show two methods of generating $(k-1)$-uniform states from $k$-uniform states. Some new results on the existence and nonexistence of absolutely maximally entangled states are provided. For the applications, we present an orthogonal basis consisting of $k$-uniform states with minimum support. Moreover, we show that some $k$-uniform bases can not be distinguished by local operations and classical communications, and this shows quantum nonlocality with entanglement.

연구 동기 및 목표

• Goyeneche 등(2016)에서 제기된, 이질적 양자 시스템에서 3-균일 상태가 존재하는지 여부라는 열린 질문을 해결하기 위해.
• 조합 설계를 활용하여 혼합 국소 차원을 가진 시스템에서 $k$-균일 상태(특히 $k=2$ 및 $k=3$)의 체계적 구성법을 개발하기 위해.
• 이중성 없는 혼합 직교 배열, 최소 해밍 거리, $k$-균일 상태 간의 연결 고리를 이론적 및 구성적 목적을 위해 확립하기 위해.
• $k$-균일 기저의 국소적 구별 가능성과 특정 경우에서 얽힘 없이도 양자 비국소성을 보여주는 방법을 탐구하기 위해.
• 이질적 시스템에서 절대적으로 최대 얽힘 상태(AME 상태)의 존재 및 비존재 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 지정된 최소 해밍 거리를 갖는 혼합 직교 배열(MOAs)을 활용하여 이질적 시스템에서 $k$-균일 상태를 구성한다.
• 혼합 국소 차원을 가진 시스템에서 2-균일 상태를 생성하기 위해 이중성 없는 혼합 직교 배열(IrMOAs)을 기초로 삼는다.
• 시드 상태 $|\psi\rangle$에 작용하는 유니터리 연산자 $U({\bf v})$를 통한 군론적 구성법을 적용하여 $k$-균일 상태의 정규수직 기저를 생성한다.
• 국소적 구별 가능성을 분석하기 위해 직교성을 유지하는 국소 측정을 사용하고, 특정 기저가 국소적으로 불가분하다는 것을 증명한다.
• 명시적 상태 정규화와 대칭 제약 조건을 사용하여 $k$-균일 상태가 최소 지지도를 갖는 $k$-균일 기저를 유도하는 조건을 유도한다.
• 대수적 수론과 문자 합(예: $\sum_{j=0}^{d-1} w^{j\cdot m} = 0$ for $m \not\equiv 0 \pmod{d}$)을 사용하여 측정 후 상태의 직교성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 국소 차원을 가진 이질적 양자 시스템에서 3-균일 상태가 존재하는가?
• RQ2 혼합 직교 배열과 같은 조합 설계로부터 이질적 시스템의 $k$-균일 상태를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 $k$-균일 상태를 어떻게 사용하여 $(k-1)$-균일 상태를 생성할 수 있으며, 그 구조적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 LOCC 하에서 $k$-균일 기저가 국소적으로 구별 불가능한 조건은 무엇이며, 이는 양자 비국소성에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 이질적 시스템에서 절대적으로 최대 얽힘 상태(AME 상태)의 존재 및 비존재 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 Goyeneche 등(2016)이 제기한 열린 질문을 해결하기 위해 이질적 시스템에서 3-균일 상태의 첫 번째 명시적 가족을 구성한다.
• 최소 해밍 거리 제약 조건을 갖는 혼합 직교 배열을 사용하여 이질적 시스템에서 2-균일 상태의 두 가지 구성법을 제시한다.
• 저자들은 $\mathbb{C}^4 \otimes (\mathbb{C}^2)^{\otimes 4}$ 내에서 특정 2-균일 기저가 국소적으로 불가분하다는 것을 증명하며, 이는 어떤 국소 작동과 고전적 통신의 순서로도 구별될 수 없음을 의미한다.
• 논문은 유니터리 변환을 통해 $k$-균일 상태로부터 $(k-1)$-균일 상태를 생성할 수 있음을 보여주며, 알려진 상태의 가족을 확장한다.
• 특정 $k$-균일 기저가 최소 지지도를 갖으며 국소적으로 구별 불가능하다는 것을 확립하며, 얽힘을 동반한 양자 비국소성을 보여준다.
• 특히 삼부분 및 다부분 시스템에 대해, 이질적 시스템에서 절대적으로 최대 얽힘 상태(AME 상태)의 존재 및 비존재 조건에 대한 새로운 결과를 도출한다.