[논문 리뷰] Constructions of Optimal and Near-Optimal Multiply Constant-Weight Codes

Yeow Meng Chee, Han Mao Kiah외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 10.

Physical Unclonable Functions (PUFs) and Hardware Security참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최적 및 near-optimal 다중 일정 무게 부호(MCWCs)에 대한 조합적 구성법을 제시하며, 고정된 무게와 거리에 대해 존슨 유형 상한선이 渐近적으로 날카롭게 tight함을 입증한다. 일반화된 포장 설계를 도입하여 총 무게가 4이고 거리가 4인 최적 MCWC 크기를 완전히 규명하였으며, 분해 가능한 BIBD와 곱셈 구성법을 이용해 각 부분당 무게가 2 또는 3인 무한한 수의 최적 MCWC 가족을 구성하였다.

ABSTRACT

Multiply constant-weight codes (MCWCs) have been recently studied to improve the reliability of certain physically unclonable function response. In this paper, we give combinatorial constructions for MCWCs which yield several new infinite families of optimal MCWCs. Furthermore, we demonstrate that the Johnson type upper bounds of MCWCs are asymptotically tight for fixed weights and distances. Finally, we provide bounds and constructions of two dimensional MCWCs.

연구 동기 및 목표

• 작은 무게와 거리를 갖는 최적 및 near-최적 다중 일정 무게 부호(MCWCs)의 무한한 가족을 구성하기.
• 총 무게가 4이고 최소 거리가 4인 MCWC의 최대 크기를 일반화된 포장 설계를 사용하여 규명하기.
• MCWCs에서 고정된 무게와 거리에 대해 존슨 유형 상한선의 渐近적 tight함을 입증하기.
• 행과 열의 무게 제약 조건이 있는 두 차원 MCWCs의 개념을 도입하고 분석하며, 상한선과 구성법을 제공하기.
• 기존 MCWC 결과를 확장하여, 상한선의 점근적 tight함을 상수 요인 수준에서 정확한 점근적 등가로 향상시키기.

제안 방법

• 최근 베일리와 버지스에 의해 연구된 일반화된 포장 설계를 활용하여 총 무게가 4인 MCWCs를 모델링하고 분석한다.
• 작은 최적 2차원 MCWCs를 수직 또는 수평으로 연결하여 더 큰 최적 부호로 확장하는 곱셈 구성법을 적용한다.
• α-분해 가능한 균형 불완전 블록 설계(BIBDs)를 사용하여 최적 2차원 MCWCs를 구성하며, 블록 설계 존재 조건에서 유도된 매개변수를 활용한다.
• 카ーン(2001)의 분수 매칭 정리( fractional matching theorems )를 활용하여, 고정된 무게와 거리에 대해 MCWCs의 존슨 유형 상한선이 점근적으로 tight함을 증명한다.
• 행과 열의 무게 제약 조건이 있는 두 차원 MCWCs의 개념을 도입하며, 이를 유도된 정규 포장(DRPs)으로 모델링한다.
• DRP 매개변수에 기반한 조합 부등식을 활용하여 2차원 MCWCs의 최대 크기 상한선을 유도하고, 이를 최적성 검증에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 무게가 4이고 최소 거리가 4인 MCWC의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ2 각 부분당 무게가 2 또는 3이고 최소 거리가 4인 무한한 수의 최적 MCWC 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ3 MCWCs에 대해 고정된 무게와 거리에 대해 존슨 유형 상한선이 점근적으로 tight한가?
• RQ4 주어진 행과 열의 무게를 갖는 최적의 두 차원 MCWCs가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 곱셈 구성법과 분해 가능한 BIBDs를 어떻게 활용하여 더 작은 최적 부호에서 최적의 2차원 MCWCs를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 총 무게가 4이고 최소 거리가 4인 MCWCs의 최대 크기는 일반화된 포장 설계를 통해 완전히 규명되었으며, 한 개의 작은 미해결 케이스를 제외하고는 모두 해결되었다.
• 큰 수의 최적 포장 집합과 곱셈 기법을 활용하여 각 부분당 무게가 2 또는 3이고 최소 거리가 4인 무한한 수의 최적 MCWCs 가족이 구성되었다.
• 고정된 무게와 거리에 대해 MCWCs의 존슨 유형 상한선은 점근적으로 tight하며, 이는 이전 연구에서 상수 요인 수준에서만 tight함을 입증한 것에 비해 향상된 결과이다.
• 특정 매개변수를 갖는 α-분해 가능한 BIBDs의 존재는 해당 행과 열의 무게를 갖는 최적의 두 차원 MCWCs의 존재를 암시한다.
• 순서 $ n $ 의 라틴 스퀘어는 $ M(n,n,2n,1,1) = n $ 에 상한선을 달성하며, 이는 이 클래스의 2차원 MCWCs의 최적성을 확인한다.
• 곱셈 구성법은 수직 또는 수평 방향으로 코드어를 연결할 때 최적성을 유지하며, 최적 부호를 더 큰 매개변수로 확장할 수 있도록 한다.