[논문 리뷰] Constructions of Optimal Cyclic $(r,δ)$ Locally Repairable Codes

Bin Chen, Shu‐Tao Xia외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 05.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 길이가 $q-1$와 $q+1$를 나누는 경우에 대해 최적의 $q$-진 순환 $(r,\delta)$ 국소 복구 코드(LRCs)를 구축한다. 이는 이전의 $r$-국소 LRCs 연구를 일반화한 것이다. 리드-소로몬 코드와 버르레크암-자스텐 코드의 영점 구조를 활용하여, 싱글턴 유사 경계를 만족하는 새로운 구성법을 제시한다. 특히 $n \mid q+1$ 및 $\delta \geq 2$인 경우에 대해 명시적인 매개변수 집합을 제공하며, $d > 4$인 경우 최고의 기존 성능을 보이는 길이 $q+1$의 코드를 포함한다. 주요 기여는 $n \mid q-1$의 경우를 초월하여 최적의 순환 LRCs를 체계적으로 구축하는 방법을 제시한 것이다. 이는 효율적인 분산 저장을 위한 알려진 매개변수 공간을 확장한다.

ABSTRACT

A code is said to be a $r$-local locally repairable code (LRC) if each of its coordinates can be repaired by accessing at most $r$ other coordinates. When some of the $r$ coordinates are also erased, the $r$-local LRC can not accomplish the local repair, which leads to the concept of $(r,δ)$-locality. A $q$-ary $[n, k]$ linear code $\cC$ is said to have $(r, δ)$-locality ($δ\ge 2$) if for each coordinate $i$, there exists a punctured subcode of $\cC$ with support containing $i$, whose length is at most $r + δ- 1$, and whose minimum distance is at least $δ$. The $(r, δ)$-LRC can tolerate $δ-1$ erasures in total, which degenerates to a $r$-local LRC when $δ=2$. A $q$-ary $(r,δ)$ LRC is called optimal if it meets the Singleton-like bound for $(r,δ)$-LRCs. A class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q-1$ were constructed by Tamo, Barg, Goparaju and Calderbank based on the $q$-ary Reed-Solomon codes. In this paper, we construct a class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with length $n\mid q-1$, which generalizes the results of Tamo \emph{et al.} Moreover, we construct a new class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q+1$ and a new class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with lengths $n\mid q+1$. The constructed optimal LRCs with length $n=q+1$ have the best-known length $q+1$ for the given finite field with size $q$ when the minimum distance is larger than $4$.

연구 동기 및 목표

• 최적의 $r$-국소 LRCs의 구축을 더 일반적인 $(r,\\delta)$-국소성 모델($\delta \geq 2$)으로 확장한다.
• 이전에 최적의 순환 설정에서 다루지 않은 바, 길이가 $q+1$를 나누는 경우에 대해 최적의 $q$-진 순환 LRCs의 새로운 구성법을 개발한다.
• 유한체 위의 순환 코드 구조를 활용하여 $(r,\delta)$-LRCs의 일반화된 싱글턴 유사 경계를 달성한다.
• 길이 $n = q+1$인 최적의 순환 LRCs의 명시적 구성법을 제공하며, $d > 4$일 때 주어진 $q$에 대해 최고의 길이를 달성한다.
• 문헌에서 빈약한 부분이었던 $n \mid q-1$의 경우를 초월하여 최적의 순환 LRCs의 존재성과 구조를 탐구한다.

제안 방법

• 타모 등이 $n \mid q-1$인 경우에 최적의 순환 $(r,\delta)$-LRCs를 구축하는 데 사용한 리드-소로몬 코드의 영점 집합 구조를 일반화한다.
• 순환 코드의 영점 정의 집합을 활용하며, 특히 $D$와 $L_m$ 집합을 선택하여 국소성과 최소 거리 제약 조건을 모두 만족시킨다.
• 영점 집합이 $D \cup (L_1 \cup L_{-1})$인 순환 코드를 구성하며, $L_m$은 $n$을 모듈로로 하는 등차수열을 이루도록 한다. 이는 $(r,\delta)$-국소성을 보장한다.
• 버르레크암-자스텐 코드 프레임워크를 적용하여, $n \mid q+1$인 경우에 대해 새로운 최적의 $q$-진 순환 $r$-국소 및 $(r,\delta)$-국소 LRCs를 구성한다.
• 유한체 $\mathbb{F}_{q^2}$ 내의 원시 $n$제곱근의 성질과 대수적 수론을 활용하여, 코드가 순환임을 보장하고 싱글턴 유사 경계를 충족시킨다.
• 매개변수에 따라 달라지는 영점 집합 $D$를 $k$, $r$, $\delta$, $\mu$, $q$의 기수성, $\mu$, $\nu'$를 기반으로 구성하여 차원과 국소성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이가 $q+1$를 나누는 경우에 대해, 기존의 $n \mid q-1$의 경우를 초월하여 최적의 순환 $(r,\delta)$-LRCs를 구성할 수 있는가?
• RQ2 정의 집합의 영점 구조에 어떤 조건이 있어야 순환 코드에서 최적의 거리와 $(r,\delta)$-국소성을 동시에 확보할 수 있는가?
• RQ3 길이 $n = q+1$인 최적의 순환 $(r,\delta)$-LRCs가 $\delta \geq 2$ 및 $d > 4$일 때 존재하는가? 그 매개변수는 무엇인가?
• RQ4 버르레크암-자스텐 코드 구성법을 어떻게 변형하여 $n \mid q+1$인 최적의 순환 LRCs를 도출할 수 있는가?
• RQ5 주어진 $q$, $k$, $r$, $\delta$에 대해 $q$-진 최적의 순환 $(r,\delta)$-LRCs의 최대 길이 $n$은 얼마인가?

주요 결과

• 저자는 길이 $n \mid q+1$인 새로운 최적의 $q$-진 순환 $(r,\delta)$-LRCs 클래스를 구축하였으며, 이는 이전에 $n \mid q-1$에 국한된 결과를 확장한다.
• 길이 $n = q+1$인 경우, 최소 거리가 4를 초월할 때 주어진 유한체 크기 $q$에 대해 기존의 최고 성능을 달성한다.
• $n \mid q+1$인 경우의 구성법은 버르레크암-자스텐 코드에 기반하며, 등차수열 구조를 가진 정밀하게 선택된 영점 집합 정의를 포함한다.
• 논문은 타모 등이 제시한 $r$-국소 LRCs를 $(r,\delta)$-국소성으로 일반화하여, $\delta \geq 2$인 경우에 대해 일반화된 싱글턴 유사 경계를 달성한다.
• 매개변수의 기수성, $\mu$, $\nu'$에 따라 여러 경우에 대해 명시적인 구성법을 제공하며, 이에 해당하는 영점 집합 $D$와 국소 집합 $L_m$을 제시한다.
• 표 III에 상세히 기재된 바와 같이 특정 매개변수 조건 하에서 $n \mid q+1$인 최적의 순환 $(r,\delta)$-LRCs가 존재함을 입증한다.