[논문 리뷰] Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs and Skew Hadamard Difference Sets from Cyclotomic Classes

Tao Feng, Koji Momihara외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 03.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한체 내 순환류를 이용하여 강한 정규 카일리 그래프와 기울어진 하다르드 차이집합의 새로운 구성법을 제시한다. 기존의 순환수 대신 인덱스-2 가우스 합을 활용함으로써, 새로운 매개변수를 가진 세 개의 무한한 강한 정규 그래프 가족과, 유한체의 덧셈군에서 새로운 기울어진 하다르드 차이집합 가족을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a construction of strongly regular Cayley graphs and a construction of skew Hadamard difference sets. Both constructions are based on choosing cyclotomic classes in finite fields, and they generalize the constructions given by Feng and Xiang \cite{FX111,FX113}. Three infinite families of strongly regular graphs with new parameters are obtained. The main tools that we employed are index 2 Gauss sums, instead of cyclotomic numbers.

연구 동기 및 목표

• 순환류를 기반으로 한 기존의 강한 정규 카일리 그래프 및 기울어진 하다르드 차이집합의 구성법을 일반화하기 위해.
• 큰 차수에 대해 순환수 계산의 한계를 극복하기 위해 기존의 순환수 대신 인덱스-2 가우스 합을 사용하기 위해.
• 이전에 알려지지 않은 매개변수를 가진 새로운 무한한 강한 정규 그래프 가족을 확립하기 위해.
• 기본이 홀수 소수인 유한체에서 새로운 기울어진 하다르드 차이집합 가족을 생성하기 위해.
• 특히 원시적인 경우에서 아모르픽 연관 체계에 대한 이바노프의 추측에 대한 반례를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유한체 $ \bbF_q $에서 $ q = p^f $, $ p $를 홀수 소수로 두고, $ N = 2p_1^m $ 인 순환류를 사용한다.
• 기존에 사용된 순환수 대신 매개변수 평가에 주로 인덱스-2 가우스 합을 사용한다.
• 가우스 합 값과 캐릭터 합의 조건을 활용하여 순환류의 합집합이 부분 차이집합을 형성할 수 있는지를 판단한다.
• 순환류의 합집합이 강한 정규 카일리 그래프 또는 기울어진 하다르드 차이집합을 유도하기 위한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 유도된 그래프로부터 연관 체계를 구성하고, 융합이 강한 정규성을 유지하며 비아모르픽 체계를 유도함을 보인다.
• 대수적 수론을 사용하여 $ \bbQ(\sqrt{-p_1}) $ 상에서 가우스 합의 행동을 분석함으로써, 특정 경우에 매개변수를 $ m $ 에 대해 독립적으로 만들 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인덱스-2 가우스 합을 사용하면 순환수 대비 더 효과적으로 새로운 강한 정규 카일리 그래프 및 기울어진 하다르드 차이집합을 구성할 수 있는가?
• RQ2 순환류의 합집합이 부분 차이집합을 형성하기 위한 가우스 합 값에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 새로운 구성법이 이전에 알려지지 않은 매개변수를 가진 무한한 강한 정규 그래프 가족을 도출하는가?
• RQ4 이 구성법이 홀수 특성의 유한체에서 새로운 기울어진 하다르드 차이집합을 생성할 수 있는가?
• RQ5 유도된 연관 체계가 아모르픽 연관 체계에 대한 이바노프의 추측에 대한 반례를 제공하는가?

주요 결과

• 매개변수 $ (v,k,\lambda,\mu) $ 를 가진 세 개의 새로운 무한한 강한 정규 그래프 가족이 구성되었으며, 이 중 $ v = 5^{9 \cdot 19^{m-1}} $, $ k = 5^{9 \cdot 19^{m-1} - 1} \cdot (5^{9 \cdot 19^{m-1}} - 1)/2 $ 이고, $ \lambda, \mu $ 는 가우스 합 조건에서 유도된다.
• $ q = 3^{53 \cdot 107^{m-1}} $ 인 $ (\bbF_q, +) $ 에서 새로운 기울어진 하다르드 차이집합 가족이 구성되었으며, $ b = 1 $, $ h = 3 $, $ N = 2 \cdot 107^m $ 이다.
• 이 구성법은 모든 비자명한 관계가 강한 정규 그래프인, 무한한 수의 허위 순환적 비아모르픽 연관 체계를 유도한다.
• 결과는 펑과 샹 [10, 12] 의 이전 구성법을 일반화하며, 인덱스-2 가우스 합을 통해 새로운 매개변수 집합으로 확장된다.
• 이 방법은 원시적인 경우에서 이바노프의 추측에 대한 반례를 생성하며, 비아모르픽 연관 체계의 새로운 무한한 시리즈를 제공한다.
• 특정 경우에 가우스 합의 합동성의 불변성 덕분에 매개변수 조건이 $ m $ 에 대해 독립적이며, 이는 균일한 매개변수 가족을 가능하게 한다.