[논문 리뷰] Constructive Analysis in Infinitely many variables

Tepper L. Gill, Gogi Pantsulaia외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간의 슈하르 기저를 갖는 분리 가능 분할 공간에서의 레베그 측도와 가우시안 측도의 구성 가능한 무한차원 유사체를 제공하기 위해 폰 노이만의 무한 텐서곱 힐버트 공간 프레임워크를 사용하여 $\mathbb{R}^\infty$ 위에 정규화된 $\sigma$-유한 레베그 측도를 구성한다. 이는 $L^2$ 이론, 푸리에 변환 및 비유계 연산자 정의를 가능하게 하며, 얀의 부등식을 확장하고 무한 변수에서의 편미분 방정식을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the foundations for analysis in infinitely-many (independent) variables. We give a topological approach to the construction of the regular $\s$-finite Kirtadze-Pantsulaia measure on $\R^\iy$ (the usual completion of the Yamasaki-Kharazishvili measure), which is an infinite dimensional version of the classical method of constructing Lebesgue measure on $\R^n$ (see \cite{YA1}, \cite{KH} and \cite{KP2}). First we show that von Neumann's theory of infinite tensor product Hilbert spaces already implies that a natural version of Lebesgue measure must exist on $\R^{\iy}$. Using this insight, we define the canonical version of $L^2[\R^{\iy}, \la_{\iy}]$, which allows us to construct Lebesgue measure on $\R^{\iy}$ and analogues of Lebesgue and Gaussian measure for every separable Banach space with a Schauder basis. When $\mcH$ is a Hilbert space and $\la_{\mcH}$ is Lebesgue measure restricted to $\mcH$, we define sums and products of unbounded operators and the Gaussian density for $L^2[\mcH, \la_{\mcH}]$. We show that the Fourier transform induces two different versions of the Pontryagin duality theory. An interesting new result is that the character group changes on infinite dimensional spaces when the Fourier transform is treated as an operator. Since our construction provides a complete $\s$-finite measure space, the abstract version of Fubini's theorem allows us to extend Young's inequality to every separable Banach space with a Schauder basis. We also give constructive examples of partial differential operators in infinitely many variables and briefly discuss the famous partial differential equation derived by Phillip Duncan Thompson \cite{PDT}, on infinite-dimensional phase space to represent an ensemble of randomly forced two-dimensional viscous flows.

연구 동기 및 목표

• 표준 보렐 측도의 실패로 인해 개방 집합에서 유한 측도를 갖지 못함으로써 불가능하다고 여겨졌던 $\mathbb{R}^\infty$ 위에 의미 있는 레베그 측도를 구성하는 데 있어 기초 문제를 해결하기 위해.
• 푸리에 변환과 미분 연산자와 같은 분석 도구를 지원하는 $\sigma$-유한 측도 공간을 $\mathbb{R}^\infty$ 위에 구성하기 위해.
• 레베그 측도, 가우시안 측도, 푸리에 변환 및 얀의 부등식과 같은 고전적 분석 도구를 슈하르 기저를 갖는 분리 가능 바나흐 공간으로 확장하기 위해.
• 구축된 측도 공간을 이용하여 무한 변수에서의 비유계 연산자와 편미분 방정식을 정의하고 분석하기 위해.
• 무한 차원에서의 폰트리아긴 쌍대성의 역할을 명확히 하여, 푸리에 변환에 의해 특성군이 변화함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 바나흐 공간의 힐버트 공간의 무한 텐서곱 이론을 사용하여 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$의 정규화된 형태를 유도함으로써 잘 정의된 측도 공간을 확보한다.
• 키르타즈-판츠울라야 측도를 야마사키-카라지시벨리 측도의 완비화로 구성함으로써 $\mathbb{R}^\infty$ 위의 $\sigma$-유한 보렐 측도를 확립한다.
• 강한 연산자 수렴과 닫힌 확장을 통해 $L^2[\mathcal{H}, \lambda_\mathcal{H}]$ 위의 비유계 연산자의 합과 곱을 정의한다.
• 추상 푸비니 정리를 적용하여 양의 부등식을 슈하르 기저를 갖는 모든 분리 가능 바나흐 공간으로 확장한다.
• 무한 차원에서의 $L^1[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 및 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 위에 푸리에 변환을 도입하고, 무한 차원에서 두 가지 다른 폰트리아긴 쌍대성의 형태가 존재함을 드러낸다.
• 무한 변수에서의 편미분 연산자에 대한 구체적인 예를 구성함으로써, 무한 차원 라플라스 연산자 및 올름슈타인-울렌벡 유형의 연산자를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 보렐 측도의 실패로 인해 불가능하다고 여겨졌지만, 정규화된 $\sigma$-유한 레베그 측도를 $\mathbb{R}^\infty$ 위에 구성할 수 있는가?
• RQ2 잘 정의된 측도를 갖는 무한 차원 공간에서 푸리에 분석과 폰트리아긴 쌍대성이 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 비유계 연산자는 무한 차원 $L^2$-공간에서 어떤 역할을 하는가? 그 합과 곱은 어떻게 의미 있게 정의될 수 있는가?
• RQ4 양의 부등식과 같은 고전적 부등식은 슈하르 기저를 갖는 무한 차원 바나흐 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 무한 변수에서의 편미분 연산자는 어떻게 행동하는가? 그리고 무작위로 강제되는 유체 흐름과 같은 물리계를 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^\infty$ 위에 정규화된 $\sigma$-유한 레베그 측도 $\lambda_\infty$ 가 힐버트 공간의 무한 텐서곱 구조를 통해 존재한다.
• 무한 차원에서의 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 위의 푸리에 변환은 두 가지 다른 폼의 폰트리아긴 쌍대성을 유도하며, 특성군이 무한 차원에서 변화함을 보여준다.
• 추상 푸비니 정리를 이용하여, 구축된 측도 공간 위에서 양의 부등식이 슈하르 기저를 갖는 모든 분리 가능 바나흐 공간으로 확장된다.
• 무한 차원 라플라스 연산자 $\Delta_\infty = \sum_{i=1}^\infty \partial^2 / \partial x_i^2$ 는 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 위의 닫힘 연산자이자 밀도가 높은 연산자로서 잘 정의되어 있다.
• 무작위로 강제되는 2차원 점성 유동의 씻어내림 방정식이 이 프레임워크 내에서 수학적으로 일관됨이 입증되었으며, 평형 밀도 $\rho_0(\mathbf{x}) = C \exp(-\frac{1}{2}\nu \sum_k \alpha_k^2 x_k^2)$ 가 잘 정의되어 있다.
• 이 구성은 비유계 연산자에 대한 자연스러운 설정을 제공하며, $g_n \to g$ 이면 $\Delta_\infty g_n \to \Delta_\infty g$ 가 $L^2$ 내에서 성립한다.