[논문 리뷰] Constructive Coordinatization of Desarguesian Planes

Mark Mandelkern|arXiv (Cornell University)|2024. 02. 12.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

본 논문은 Desarguesian 평면의 좌표화를 Bishop의 의미에서 구성적으로 개발하고, 공리를 강화하며 하나의 기본 개념으로부터 division-ring 좌표화를 도출한다.

ABSTRACT

A classical theory of Desarguesian geometry, originating with D. Hilbert in his 1899 treatise, Grundlagen der Geometrie, leads from axioms to the construction of a division ring from which coordinates may be assigned to points, and equations to lines; this theory is highly nonconstructive. The present paper develops this coordinatization theory constructively, in accordance with the principles introduced by Errett Bishop in his 1967 book, Foundations of Constructive Analysis. The traditional geometric axioms are adopted, together with two supplementary axioms which are constructively stronger versions of portions of the usual axioms. Stronger definitions, with enhanced constructive meaning, are also selected; these are based on a single primitive notion, and are classically equivalent to the traditional definitions. Brouwerian counterexamples are included; these point out specific nonconstructivities in the classical theory, and the consequent need for strengthened definitions and results in a constructive theory. All the major results of the classical theory are established, in their original form, revealing their hidden constructive content.

연구 동기 및 목표

• 구성적 방법을 사용하여 Desarguesian 평면의 고전적 좌표화를 재구성한다.
• Bishop의 구성적 체계와 서로 다른 점의 단일 기본 개념을 채택한다.
• 고전 이론의 비구성적 부분을 대체하는 유한한 절차를 제공하기 위해 정의를 강화한다.
• Desargues의 정리와 Pappus의 정리가 구성적으로 대칭성과 교환성 특성과 어떻게 관련되는지 보인다.

제안 방법

• 서로 다른 점의 단일 기본 개념과 "선 밖의 점"이라는 구성적 주요 관계로 기하를 정의한다.
• G, L, K의 세 공리 그룹을 채택하고, L은 비평행선에 대한 구성적 처리를 제공한다.
• 평행성, 확대 작용(dilatations), 그리고 평행 이동의 개념을 강화하여 구성적 사상과 확장을 얻는다.
• Desargues의 정리는 대칭 공리와 동등하고, Pappus의 정리는 좌표화하는 division ring의 교환성과 동등하다는 것을 보인다.
• 이동군(translation group) 동형에서 좌표화를 구성하고, 0이 아닌 동형의 단사성을 입증한다.
• 실수평면 R^2를 공리들을 만족하는 구성적 모형으로 보여주고, Brouwerian 반례를 논의하여 공리 강화를 자극한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Desarguesian 평면의 좌표화가 고전적 결과를 보존하면서 구성적으로 달성될 수 있는가?
• RQ2 이동과 확대에서 division-ring 좌표화를 도출하기에 충분한 구성적 공리 체계는 무엇인가?
• RQ3 Desargues의 정리, 대칭 공리, 그리고 Pappus의 정리 사이의 구성적 관계는 무엇인가?
• RQ4 실수평면 R^2와 같은 표준 모델이 강화된 구성적 공리를 만족하는가, 그리고 Brouwerian 반례는 무엇인가?
• RQ5 기하학적 맥락에서 Heyting 스타일 접근법은 Bishop 스타일 구성 프레임워크에 비해 어떤 차이를 보이는가?

주요 결과

• Desarguesian 기하학의 주요 고전 결과가 구성적 의미가 강화된 원래 형태로 확립된다.
• 구성적 프레임워크는 비평행선에 대한 강한 개념과 한 점이 선 밖에 있는 주된 관계에 중점을 둔다.
• Desargues의 정리는 대칭 공리와 동등하고, Pappus의 정리는 결과 division ring의 교환성에 동등하다는 것이 보인다.
• 확대 작용과 그 확장 및 역사가 구성적으로 개발되어 평행 이동 동형을 통한 좌표화가 가능하다.
• 실수평면 R^2는 구성적 공리를 만족하는 Desarguesian 평면으로 나타나며, Brouwerian 반례는 고전 이론의 비구성성을 보여준다.