[논문 리뷰] Constructive Stabilization and Pole Placement by Arbitrary Decentralized Architectures

Alborz Alavian, Michael Rotkowitz|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 06.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Wang과 Davison의 1973년 정점이 되는 결과를 일반화하여, 고정 모드(fixed modes)—지정된 정보 구조를 가진 정적 선형 시간 불변(LTI) 제어기로는 이동이 불가능한 시스템 모드—가 동일한 정보 구조를 가진 동적 LTI 제어기로도 이동이 불가능하다는 것을 엄밀히 증명한다. 또한 비고정 모드는 구성 가능한 알고리즘을 통해 임의의 목적지 위치에 매우 가까이 이동시킬 수 있음을 보이며, 이는 동적 분산 제어기로의 안정화 가능성과 고정 모드가 모두 좌반평면에 존재하는 것의 동치성을 입증한다.

ABSTRACT

A seminal result in decentralized control is the development of fixed modes by Wang and Davison in 1973 - that plant modes which cannot be moved with a static decentralized controller cannot be moved by a dynamic one either, and that the other modes which can be moved can be shifted to any chosen location with arbitrary precision. These results were developed for perfectly decentralized, or block diagonal, information structure, where each control input may only depend on a single corresponding measurement. Furthermore, the results were claimed after a preliminary step was demonstrated, omitting a rigorous induction for each of these results, and the remaining task is nontrivial. In this paper, we consider fixed modes for arbitrary information structures, where certain control inputs may depend on some measurements but not others. We provide a comprehensive proof that the modes which cannot be altered by a static controller with the given structure cannot be moved by a dynamic one either, and that the modes which can be altered by a static controller with the given structure can be moved by a dynamic one to any chosen location with arbitrary precision, thus generalizing and solidifying Wang and Davison's results. This shows that a system can be stabilized by a linear time-invariant controller with the given information structure as long as all of the modes which are fixed with respect to that structure are in the left half-plane; an algorithm for synthesizing such a stabilizing decentralized controller is then distilled from the proof.

연구 동기 및 목표

• 완전히 분산된(블록 대각형) 정보 구조에서부터 임의의 정보 구조로 Wang과 Davison의 1973년 고정 모드 및 고유값 배치 결과를 일반화하기 위해.
• 주어진 정보 구조 하에서 정적 LTI 제어기로는 이동이 불가능한 고정 모드가 동적 LTI 제어기로도 동일한 정보 구조 하에서 이동이 불가능하다는 것을 엄밀한 귀납적 증명을 통해 보장하기 위해.
• 지정된 정보 구조 하에서 동적 LTI 제어기를 사용하여 비고정 모드를 복소 평면 상의 임의의 목적지 위치에 매우 가까이 이동시킬 수 있음을 보여주기 위해.
• 증명에 기반하여 안정화 가능한 분산 제어기를 합성하는 명시적이고 구성 가능한 알고리즘을 유도하기 위해.

제안 방법

• 정보 구조와 제어기 유형(정적/동적, LTI/비-LTI)에 따라 의존하는 고정 모드의 일반화된 정의를 도입한다.
• 귀납적 추론을 사용하여, 주어진 정보 구조 하에서 정적 및 동적 LTI 제어기의 고정 모드 집합이 동일함을 증명한다.
• 비고정 모드가 복소 평면 상의 임의의 목적지 고유값 위치에 임의의 정밀도로 이동 가능함을 구성 가능한 접근 방식을 통해 보여준다.
• 상태공간 매개변수화를 사용하여 비고정 모드에 차례로 고유값을 할당하는 방식으로 안정화 가능한 동적 LTI 제어기를 합성하는 알고리즘 1을 개발한다.
• 제어기 이득이 무한대가 되는 것을 방지하기 위해 정확한 고유값 매칭 대신 거리 기반 조건을 사용한다.
• 좌반평면 외에도 임의의 열린 영역을 허용 가능한 닫힌 루프 고유값 영역으로 확장하기 위해, 허용 가능한 영역의 여집합을 적절히 교체한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분산 제어에서 완전히 분산된(블록 대각형) 정보 구조를 초월해 임의의 정보 구조로 고정 모드 개념을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 주어진 정보 구조 하에서 정적 LTI 제어기로는 이동이 불가능한 모드가 동일한 정보 구조 하에서 동적 LTI 제어기로도 이동이 불가능한가?
• RQ3 주어진 정보 제약 조건 하에서 동적 LTI 제어기를 사용하여 비고정 모드를 복소 평면 상의 임의의 목적지 위치에 매우 가까이 배치할 수 있는가?
• RQ4 임의의 정보 구조 하에서 안정화 가능한 동적 LTI 제어기를 합성하는 구성 가능한 알고리즘 절차는 무엇인가?
• RQ5 결과를 좌반평면 외에도 임의의 허용 가능한 닫힌 루프 고유값 영역으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 정보 구조 하에서 정적 LTI 제어기로 고정된 고정 모드는 동일한 정보 구조 하에서 동적 LTI 제어기로도 동일하게 고정되어 있음을 입증하여, 동적 제어기가 이동 가능한 모드의 집합을 확장하지 못함을 보였다.
• 비고정 모드는 임의의 목적지 복소 공액 위치에 매우 높은 정밀도로 이동 가능하여, 고유값 배치의 정밀도를 임의로 제어할 수 있음을 보장한다.
• 주어진 정보 구조 하에서 동적 LTI 제어기를 사용한 시스템의 안정화 가능성은 고정 모드가 모두 좌반평면에 존재할 때에만 성립함을 입증하였다.
• 제안된 알고리즘 1은 5차 시스템에 대해 9개의 비영인 제어기 요소를 가진 3차 제어기를 성공적으로 합성하여, 다른 방법에 비해 제어기 차수에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 정확한 고유값 매칭 대신 거리 기반 고유값 배치를 사용함으로써 제어기 이득이 무한대가 되는 것을 방지하여 수치적 안정성을 향상시켰다.
• 허용 가능한 닫힌 루프 고유값 영역을 좌반평면 외의 임의의 열린 영역으로 확장할 수 있으며, 이는 허용 가능한 영역의 여집합을 적절히 교체함으로써 가능하다.