[논문 리뷰] Contact geometry of one dimensional holomorphic foliations

Giuseppe Tomassini, Sergio Venturini|ArXiv.org|2009. 07. 29.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 M 속의 실초곡면 V를 정의하는 C^k 해 u가 존재하기 위한 필요충분조건을 제시한다. 이때 u는 복소 면적-암페르 방정식 (d d^c u)^{n+1} = 0 를 만족하며, V는 u에 의해 정의되며, 관련된 면적-암페르 분할이 V 상에서 리브 분할을 유도한다. 주요 결과는 리브 벡터장 ξ_0의 적분곡선들이 해석적일 때에만 이러한 해 u가 존재함을 보여주며, 이는 CR 분포의 무한소 대칭에 대한 코시 문제를 푸름으로써 달성된다.

ABSTRACT

Let V be a real hypersurface of class C^k, k>=3, in a complex manifold M of complex dimension n+1, HT(V) the holomorphic tangent bundle to V giving the induced CR structure on V. Let θbe a contact form for (V,HT(V)), ξ_0 the Reeb vector field determined by θand assume that ξ_0 is of class C^k. In this paper we prove the following theorem (cf. Theorem 4.1): if the integral curves of ξ_0 are real analytic then there exist an open neighbourhood N\subset M of V and a solution u\in C^k(N) of the complex Monge-Ampère equation (dd^c u)^(n+1)=0 on N which is a defining equation for V. Moreover, the Monge-Ampère foliation associated to u induces on V that one associated to the Reeb vector field. The converse is also true. The result is obtained solving a Cauchy problem for infinitesimal symmetries of CR distributions of codimension one which is of independent interest (cf. Theorem 3.1).

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 M 속의 실초곡면 V가 복소면적-암페르 방정식 (d d^c u)^{n+1} = 0 를 만족하는 C^k 정의함수 u를 가질 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 리브 벡터장의 적분곡선의 해석성과 그러한 해 u의 존재성 사이의 대응관계를 확립하는 것.
• 함수 u에 의해 유도된 면적-암페르 분할이 V 상에서 리브 벡터장에 의해 정의되는 분할과 일치함을 보이는 것.
• codimension one CR 분포의 무한소 대칭에 대한 코시 문제를 개발하고 적용함으로써, 이는 별개의 관심사로 간주된다.

제안 방법

• 저자들은 (ξ, u)를 캘리브레이션된 분할로 정의한다. 여기서 ξ는 [ξ, Jξ] = 0, d^c u(ξ) = 0, 그리고 d u(ξ) = 1 를 만족하며, 이는 ξ 가 리만 표면으로 이루어진 해석적 분할을 생성함을 보장한다.
• 일반화된 해석함수 이론을 사용하여, ξ 가 Ker du ∩ Ker d^c u 의 무한소 대칭이 되는 점들의 집합 Z 가 각 리브에 대해 이산적 또는 전체 부분집합이 됨을 보인다.
• codimension one CR 분포의 무한소 대칭에 대한 코시 문제를 해결함으로써, 만약 ξ_0 의 적분곡선들이 해석적이라면, V 근처에 유일한 캘리브레이션된 분할 (ξ, u) 가 존재함을 증명한다. 여기서 u|_V = 0 이고, ξ|_V = ξ_0 이다.
• d d^c u 에 대한 행렬식 항등식과 ξ ⌟ d d^c u 가 0이 되는 것으로 인해, 해 u 가 (d d^c u)^{n+1} = 0 을 만족함을 보인다.
• 역으로, 만약 u 가 면적-암페르 방정식의 C^k 해라면, 관련된 벡터장 ξ = ξ_u 가 [ξ, Jξ] = 0 를 만족하며, Proposition 3.1 에 의해 그 적분곡선들이 해석적임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체 M 속의 실초곡면 V가 복소면적-암페르 방정식 (d d^c u)^{n+1} = 0 를 만족하는 C^k 정의함수 u를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 함수 u 가 유도하는 면적-암페르 분할이 V 상에서 리브 벡터장 ξ_0 가 생성하는 분할과 일치하는가?
• RQ3 리브 벡터장 ξ_0 의 적분곡선들의 해석성은 이러한 해 u 의 존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 CR 분포의 무한소 대칭에 대한 코시 문제를 어떻게 해결하여 u 를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 실초곡면 V 근처의 열린근방 M_0 에서 복소면적-암페르 방정식 (d d^c u)^{n+1} = 0 의 C^k 해 u 가 존재하는 것은 리브 벡터장 ξ_0 의 적분곡선들이 해석적일 때에만 가능하다.
• 해 u 는 V 를 정의하는 함수로서, u|_V = 0 이고, V 근처에서 d u ≠ 0 이며, d^c u|_{T(V)} = θ 를 만족한다. 여기서 θ 는 V 상의 접촉형식이다.
• 함수 u 와 관련된 면적-암페르 분할은 V 상에서 리브 벡터장 ξ_0 가 유도하는 분할과 동일한 분할을 유도한다.
• 역으로, 만약 C^k 해 u 가 존재한다면, 관련된 벡터장 ξ_u 의 적분곡선들은 해석적임을 보이며, 이는 ξ_u|_V = ξ_0 를 의미한다.
• 이 증명은 codimension one CR 분포의 무한소 대칭에 대한 코시 문제를 해결하는 데 기반하며, 이는 별개의 관심사로 간주됨이 입증되었다.