[논문 리뷰] Contact homology of $S^1$-bundles over some symplectically reduced orbifolds

Justin Pati|ArXiv.org|2009. 10. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴형 리브 유형의 작용을 가진 심플렉틱 오비폴드 위의 $S^1$-_bundle에 대해 접촉 homology를 계산한다. 보이아르의 정리가 오비폴드 기반으로 확장되며, 접촉 homology는 기반의 호모로지와 번들의 데이터에만 의존함을 보여, $c_1(\xi) = 0$일지라도 같은 첫 번째 체르누 클래스를 가진 $S^2 \times S^3$ 위에 무한히 많은 비접촉형 구조를 구별할 수 있다. 핵심 결과는 모멘트 맵의 모어스- bott 함수를 통해 오비폴드 체르누 클래스와 마스лов 지수를 이용한 등급 공식이다.

ABSTRACT

In this paper, we compute contact homology of some quasi-regular contact structures, which admit Hamiltonian actions of Reeb type of Lie groups. We will discuss the toric contact case, (where the torus is of Reeb type), and the case of homogeneous contact manifolds. In both of these cases the quotients by the Reeb action are Kähler and admit perfect Morse-Bott functions via the moment map. It turns out that the contact homology depends only on the homology of the symplectic base and the bundle data of the contact manifolds as a circle bundle over the base. Moreover we can identify the relevant holomorphic spheres in the bases which lift to gradient trajectories of the action functional on the loop space of the symplectization of M. In order to include all toric contact manifolds we extend a result of Bourgeois to the case of circle bundles over symplectic orbifolds. In particular we are able to distinguish contact structures on many contact manifolds all in the same first Chern class of $2n$-dimensional plane distributions.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 오비폴드 위의 $S^1$-bundle에 대해 퀼-레귤러 접촉 구조와 해밀턴형 리브 유형의 작용을 가진 접촉 homology를 계산하는 것.
• 심플렉틱 다양체 위의 원판에 대한 보이아르의 정리가 오비폴드 기반의 경우로 확장되는지 조사하는 것.
• $S^2 \times S^3$ 위의 접촉 구조들이 동일한 첫 번째 체르누 클래스를 가짐에도 불구하고 비접촉형임을 식별하는 것.
• 모멘트 맵의 모어스- bott 함수와 오비폴드 코hom로지의 조합을 통해 인덱스 계산을 체계화하는 것.
• 오비폴드 기반에서 $\bar{\partial}_J$-정규성과 그로모프- 윈터 기반의 Gromov-Witten 불변량을 사용하여 접촉 homology 계산의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 보우치-왕 구축을 통해 접촉 다양체를 곡률 형식 $d\alpha = \sum w_j \pi^*c_j$를 가진 심플렉틱 오비폴드 위의 $S^1$-bundle로 표현한다.
• 기반 오비폴드 위의 모멘트 맵 성분에 대해 모어스- bott 이론을 적용하며, 완전한 모어스 함수를 활용해 체인 복합체를 단순화한다.
• 기반 오비폴드의 구형 2-사이클 위에서 $c_1(T\mathcal{Z})$를 적분하여 접촉 homology의 등급을 계산한다.
• 단순 연결된 축소된 오비폴드의 모든 2차 호모로지가 구로 생성됨을 이용하여 마스лов 지수 계산을 단순화한다.
• $\bar{\partial}_J$-정규성과 전이성을 활용하여 미분에서 잘 정의된 Gromov-Witten 불변량을 확보한다.
• 오비폴드 특이점을 체르누 클래스 평가에 통합함으로써 결과를 동차 공간과 가중 투영 공간으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴형 리브 유형의 작용을 가진 $S^1$-bundle에 대해 심플렉틱 오비폴드 위에서 접촉 homology를 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 번들의 접촉 homology는 기반 오비폴드의 호모로지와 번들의 데이터에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $S^2 \times S^3$ 위의 접촉 구조들이 동일한 첫 번째 체르누 클래스를 가짐에도 불구하고 비접촉형임을 식별할 수 있는가?
• RQ4 오비폴드 체르누 클래스와 모멘트 맵의 분할이 접촉 homology의 등급에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 보이아르의 정리는 비단순 연결 또는 특이(오비폴드) 기반으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 심플렉틱 오비폴드 위의 $S^1$-bundle에 대한 접촉 homology는 기반의 호모로지와 등급 이동 $2m \sum \tilde{w}_j + \dim S$에 의해 결정되며, 이는 동형이다. 여기서 $m$은 궤도 다중도이고 $\tilde{w}_j$는 $c_1(T\mathcal{Z})$의 계수이다.
• $k,l$이 서로소이고 $k-l = c$인 $S^2 \times S^3$의 경우, 접촉 구조 $\xi_{k,l}$는 동일한 첫 번째 체르누 클래스를 가짐에도 불구하고 상호 비접촉형이다.
• 접촉 homology의 등급은 $|p| = 4m(k+l) - 2 + d$이며, $d = 0,2,4$이고 $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$이다. 이는 동일한 $c_1(\xi)$ 클래스 내에서 무한히 많은 서로 다른 접촉 구조를 유도한다.
• 접촉 homology는 기반의 그로모프-윈터 불변량을 통해 계산되며, 미분은 심플렉티제이션의 루프 공간에서 경사선으로 올라가는 해를 가진 힐버트 공간의 해를 통해 결정된다.
• 가중 투영 공간 $\mathbb{CP}^{n}(a_1,\dots,a_n)$의 경우, 등급은 $2km \sum_j \frac{1}{|\Gamma_j|} + \frac{1}{2}\dim S_{T_j} + d + n - 3$을 포함하며, $d$는 $0$에서 $2n$ 사이의 짝수이고 $c_1(\xi) = 0$이다.
• 메서드가 $c_1(\xi) = 0$일 경우에도 접촉 구조를 식별할 수 있으며, 이는 번들 및 오비폴드 데이터만으로도 충분히 식별 가능하다는 것을 보여주며, $S^2 \times S^3$의 예에서와 같이 적용된다.