[논문 리뷰] Contact pairs and locally conformally symplectic structures

Gianluca Bande, D. Kotschick|UNICA IRIS Institutional Research Information System (University of Cagliari)|2010. 06. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍과 국소적으로 동형 대칭형식(lcs) 구조 사이의 대응관계를 수립하며, $d\alpha + \alpha \land \beta$를 통해 이러한 접촉 쌍이 lcs 형식을 유도함을 보여준다. 정규 메트릭 접촉 쌍이 비-카플러 Vaisman 구조와 동치임을 증명하여, 비음성 코다이라 차원을 가진 컴팩트 복소 표면에 Vaisman 구조가 존재하는지의 분류를 가능하게 하며, lcK 구조는 없지만 lcs 구조를 가진 다중체의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

We discuss a correspondence between certain contact pairs on the one hand, and certain locally conformally symplectic forms on the other. In particular, we characterize these structures through suspensions of contactomorphisms. If the contact pair is endowed with a normal metric, then the corresponding lcs form is locally conformally Kaehler, and, in fact, Vaisman. This leads to classification results for normal metric contact pairs. In complex dimension two we obtain a new proof of Belgun's classification of Vaisman manifolds under the additional assumption that the Kodaira dimension is non-negative. We also produce many examples of manifolds admitting locally conformally symplectic structures but no locally conformally Kaehler ones.

연구 동기 및 목표

• $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍과 국소적으로 동형 대칭형식(lcs) 형식 사이의 대응관계 수립.
• 원환면 피복을 통해 접촉동형사상 단형을 가진 원환면 피복을 갖는 닫힌 다중체가 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍을 갖는 조건을 특성화.
• 정규 메트릭 접촉 쌍을 분류하고, 복소 차원 2에서 Vaisman 구조와의 관계를 규명.
• lcs 구조를 가진다음에도 불구하고 국소적으로 동형 카플러(lcK) 구조를 갖지 않는 다중체의 예를 구성.
• 비음성 코다이라 차원을 가정할 때 벨군의 Vaisman 복소 표면 분류에 대한 새로운 증명 제공.

제안 방법

• 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍을 $d\beta = 0$ 이며 $\alpha \land (d\alpha)^h \land \beta$ 가 체적 형식이 되는 쌍 $(\alpha, \beta)$로 정의.
• 다음 조건을 만족하는 벡터장 $Y$들의 집합인 리브 분포 $\mathcal{R}$를 정의: $(i_Y d\alpha)|_{\ker \alpha \cap \ker \beta} = 0$, 이는 매끄러운 랭크 2 분포이다.
• 벡터장 $A$와 $B$를 각각 $\mathcal{R}$에 속하고 $\alpha(A) = \beta(B) = 1$, $\alpha(B) = \beta(A) = 0$ 를 만족하는 유일한 벡터장으로 정의.
• $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍으로부터 $\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$ 라는 lcs 형식을 구성하고, $\theta = \alpha$ 일 때 $d\omega = \omega \land \theta$ 를 만족함을 보임.
• 스펜션 구조를 사용하여, 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍을 갖는 닫힌 다중체는 섬유가 접촉 다중체이고 단형이 접촉동형사상인 원환면 피복을 가짐을 증명.
• 정규 메트릭 접촉 쌍(유일한 복소 구조 $J$, $T$와 메트릭 $g$를 갖는)이 기본 형식 $d\alpha \pm \alpha \land \beta$ 를 통해 정확히 비-카플러 Vaisman 구조와 동치임을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍으로부터 국소적으로 동형 대칭형식이 유도되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍은 원환면 피복과 접촉동형사상 단형 사이에 어떤 관계를 가진다?
• RQ3 정규 메트릭 접촉 쌍과 Vaisman 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비음성 코다이라 차원을 가진 복소 표면 중 Vaisman 구조를 가질 수 있는 것은 무엇인가?
• RQ5 lcs 구조를 가질 수 있지만 lcK 구조를 갖지 않는 다중체를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍은 $\theta = \alpha$ 를 가진 국소적으로 동형 대칭형식 $\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$ 를 유도한다.
• 일반화된 $(h,0)$ 유형의 접촉 쌍을 갖는 닫힌 다중체는 정확히 섬유가 접촉 다중체이고 단형이 접촉동형사상인 원환면 피복을 갖는 다중체이다.
• 정규 메트릭 접촉 쌍 $(h,0)$ 유형은 비-카플러 Vaisman 구조와 동치이며, 기본 형식 $d\alpha \pm \alpha \land \beta$ 는 관련된 lcs 형식이다.
• 복소 차원 2에서 본 논문은 비음성 코다이라 차원을 가정할 때 벨군의 Vaisman 다중체 분류에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 저자들은 $b_1 = 0$ 이고 비-카플러 기본군을 가진 심플렉틱 4차원 다중체의 블로우업의 트리보트 공간을 사용하여, lcs 구조는 있지만 lcK 구조는 없는 다중체의 예를 구성한다.
• 비음성 코다이라 차원을 가진 컴팩트 복소 표면과 Vaisman 구조를 갖는 표면의 경우, 가능한 경우는 일반형 표면($\mathbb{H} \times \mathbb{H}$ 기하학), 짝수 $b_1$을 가진 적절한 정규 표면($\mathbb{C} \times \mathbb{H}$ 기하학), 토리/초타원 표면($\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ 기하학) 뿐이다.