[논문 리뷰] Contact Structures on G_2-Manifolds and Spin 7-Manifolds

M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 접속 구조를 갖는 무한히 많은 서로 다른 비콤팩트 G₂-다양체—일부는 완전한 G₂ 호로노미를 갖는다—를 구성한다. 이들 다각체는 포함된 아소소시에이티브 3-다양체를 접속 하위다양체로 포함한다. 스피너 7-다양체 내의 3-다양체 위의 접속 구조에 대한 원통근접 근접 확장을 통해, 저자들은 임의의 옹호된 접속 구조가 옹호된 3-하위다양체 위에서 G₂-다양체의 이웃에서 접속 구조로 확장될 수 있음을 증명한다. 이는 구조적 호환성 조건 없이도 새로운 G₂ 및 접속 기하학의 호환 가능한 예를 제공한다.

ABSTRACT

We show that there exist infinitely many pairwise distinct non-closed G_2-manifolds (some of which have holonomy full G_2) such that they admit co-oriented contact structures and have co-oriented contact submanifolds which are also associative. Along the way, we prove that there exists a tubular neighborhood N of every orientable three-submanifold Y of an orientable seven-manifold with spin structure such that for every co-oriented contact structure on Y, N admits a co-oriented contact structure such that Y is a contact submanifold of N. Moreover, we construct infinitely many pairwise distinct non-closed seven-manifolds with spin structures which admit co-oriented contact structures and retract onto co-oriented contact submanifolds of co-dimension four.

연구 동기 및 목표

• 완전한 G₂ 호로노미를 갖는 서로 다른 비콤팩트 G₂-다양체를 무한히 많이 구성하는 것.
• 스피너 7-다양체의 옹호된 3-하위다양체 위의 임의의 옹호된 접속 구조가 원통근접 근접에서 옹호된 접속 구조로 확장될 수 있음을 보이는 것.
• 코디멘션 네이브의 옹호된 접속 하위다양체를 가질 수 있는 스피너 구조를 갖는 7-다양체의 존재를 보여주는 것.
• 구조적 호환성에 의존하지 않는, 아소소시에이티브 하위다양체가 동시에 접속 하위다양체인 G₂-다양체의 명시적 구성 제공

제안 방법

• 논문 [11]의 결과를 활용하여, 임의의 닫힘, 옹호된, 실해석적 3-다양체 Y와 접속 구조를 G₂-다양체 M 내의 아소소시에이티브 하위다양체로 매립하는 것.
• Y의 M 내 원통근접 근접이 Y × ℝ⁴와 미분동형임을 이용하여, 국소적으로 접속 구조를 확장할 수 있음을 보장하는 것.
• 레마 2.1을 적용하여 Y 위의 옹호된 접속 구조 ξ를 Y × ℝ⁴ 위의 옹호된 접속 구조 η로 확장하고, Y가 (Y × ℝ⁴, η)의 접속 하위다양체가 되도록 하는 것.
• 비평탄한 접속 메트릭을 갖는 Y를 선택함으로써 완전한 G₂ 호로노미를 확보하는 것. 이는 3.6조에서 비평탄한 메트릭일 경우 호로노미가 정확히 G₂가 됨을 보장한다.
• 비평탄한 관련 메트릭을 갖는 접속 구조를 가진 3-다양체의 존재를 이전 결과로부터 안다.
• G₂-다양체의 스피너 구조와 3-다양체의 평탄성 가능성을 활용하여, Y × ℝ⁴가 스피너 구조를 상속함을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스피너 7-다양체의 옹호된 3-하위다양체 Y 위의 임의의 옹호된 접속 구조는 Y의 원통근접 근접에서 옹호된 접속 구조로 확장될 수 있는가?
• RQ2 완전한 G₂ 호로노미를 갖는 서로 다른 비콤팩트 G₂-다양체 중에서 무한히 많은 수가 존재하며, 접속 구조를 갖는다. 이들 다양체는 아소소시에이티브 하위다양체를 접속 하위다양체로 포함하는가?
• RQ3 스피너 구조를 갖는 7-다양체가 코디멘션 네이브의 옹호된 접속 하위다양체로 수축할 수 있으며, 이와 함께 호환 가능한 접속 구조를 갖는가?
• RQ4 완전한 G₂ 호로노미를 갖는 G₂-다양체를 구성할 수 있으며, 이들 다양체는 접속 구조를 갖는다. 이때 포함된 아소소시에이티브 3-다양체는 동시에 접속 하위다양체가 될 수 있는가?

주요 결과

• 완전한 G₂ 호로노미를 갖는 서로 다른 비콤팩트 G₂-다양체 중에서 무한히 많은 수가 존재하며, 이들 다양체는 접속 구조를 갖는다. 또한 이들 다양체는 아소소시에이티브 3-하위다양체를 접속 하위다양체로 포함한다.
• 스피너 7-다양체 내의 옹호된 3-하위다양체 Y에 대해, Y 위의 옹호된 접속 구조는 원통근접 근접 N ≈ Y × ℝ⁴에서 옹호된 접속 구조로 확장될 수 있다.
• Y가 옹호되고 평탄성 가능할 경우, Y × ℝ⁴는 스피너 구조를 상속한다. 이는 모든 닫힌 3-다양체에 대해 성립한다.
• 코디멘션 네이브의 옹호된 접속 하위다양체로 수축할 수 있으며, 호환 가능한 옹호된 접속 구조를 갖는 스피너 구조를 갖는 무한히 많은 서로 다른 7-다양체가 존재한다.
• 비평탄한 접속 메트릭을 갖는 3-다양체를 선택함으로써, G₂-다양체의 완전한 G₂ 호로노미를 확보할 수 있으며, 이는 호로노미가 정확히 G₂임을 보장한다.
• 원통근접 근접으로의 접속 구조 확장은 G₂-구조와 독립적이며, 이는 호환되지만 복합적이지 않은 기하학적 구조의 생성을 가능하게 한다.