[논문 리뷰] Containment: A Variation of Cops and Robbers

Danny Crytser, Natasha Komarov외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 13.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경찰이 간선을 따라 움직이며 도적의 정점에 연결된 모든 간선을 점령함으로써 승리하는 'Containment'라는 Cops and Robber 게임의 변형을 소개한다. 주요 기여는 그래프 G에 대한 'containability 수' ξ(G)에 대한 경계를 설정한 것으로, c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)를 도출하고, 특정 삼차 그래프에 대해 ξ(G) = Ω(n^{1/6})임을 증명하여 희박한 그래프에서의 비유계 containability를 보여준다.

ABSTRACT

We consider "Containment": a variation of the graph pursuit game of Cops and Robber in which cops move from edge to adjacent edge, the robber moves from vertex to adjacent vertex (but cannot move along an edge occupied by a cop), and the cops win by "containing" the robber---that is, by occupying all $°(v)$ of the edges incident with a vertex $v$ while the robber is at $v$. We develop bounds that relate the minimal number of cops, $ξ(G)$, required to contain a robber to the well-known "cop-number" $c(G)$ in the original game: in particular, $c(G) {\le} ξ(G) {\le} γ(G) Δ(G)$. We note that $ξ(G) {\geq} δ(G)$ for all graphs $G$, and analyze several families of graphs in which equality holds, as well as several in which the inequality is strict. We also give examples of graphs which require an unbounded number of cops in order to contain a robber, and note that there exist cubic graphs with $ξ(G) \geq Ω(n^{1/6})$.

연구 동기 및 목표

• 새로운 Cops and Robber 게임 변형인 'Containment'을 정식화하고 분석한다. 여기서 경찰은 간선을 따라 움직이며, 도적의 정점에 연결된 모든 간선을 점령함으로써 승리한다.
• 모든 연결된 무방향 그래프 G에서 도적을 제압하기 위해 필요한 최소 경찰 수 ξ(G)를 결정한다.
• 클래식한 그래프 매개변수, 예를 들어 경찰 수 c(G), 독립 집합 수 γ(G), 최대 차수 Δ(G)와 관련된 이론적 경계를 설정한다.
• 특히 희박하거나 고지름 그래프에서 비유계로 많은 경찰이 필요로 하는 그래프의 존재를 조사한다.
• 특히 정규 또는 삼차 그래프에서, 그래프가 containable 또는 uncontainable가 되는 구조적 성질을 탐색한다.

제안 방법

• 게임 규칙 정의: 경찰은 간선에서 인접한 간선으로 이동하며, 도적은 정점에서 인접한 정점으로 이동한다. 도적의 정점에 연결된 모든 간선이 경찰에 의해 점령되면 게임이 종료된다.
• 그래프 G에서의 containability 수 ξ(G)를 정의한다. 이는 그래프 G에서 도적을 보장적으로 제압하기 위해 필요한 최소 경찰 수이다.
• Containment 전략을 기존 Cops and Robber 전략으로 환원하여, c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)임을 증명한다.
• 극한 그래프 이론을 활용하여, 특히 고지름과 최소 차수를 갖는 그래프에 관한 Frankl의 정리를 적용하여 높은 containability 수를 갖는 그래프를 구성한다.
• 고지름을 갖는 정규 및 삼차 그래프를 분석하여 ξ(G)에 대한 하한을 도출하며, 특정 삼차 그래프 가닥에서 ξ(G) = Ω(n^{1/6})임을 보여준다.
• 지름과 차수 제약 조건을 사용하여, δ > 2 이며 지름 ≥ 5인 δ-정규 그래프는 δ명의 경찰로는 제압될 수 없음을 증명한다. 이는 비제압 조건을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 Cops and Robber 게임에서의 클래식한 경찰 수 c(G)와 비교해, containability 수 ξ(G)의 관계는 무엇인가?
• RQ2 최대 차수 Δ(G)가 유계일지라도, n에 따라 ξ(G)가 비유계로 증가하는 그래프가 존재할 수 있는가?
• RQ3 특히 정규 또는 삼차 그래프의 어떤 가닥에서 containability 수 ξ(G)가 Δ(G)보다 엄밀히 큰가?
• RQ4 지름, 정규성 등의 구조적 조건이 어떤 경우에 그래프가 Δ(G)명의 경찰로도 제압될 수 없음을 증명할 수 있는가?
• RQ5 두 containable 그래프의 카르테시안 곱 G□H는 여전히 containable인가? 만약 그렇지 않다면, 이러한 곱에서 containability를 보장하거나 방지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• containability 수 ξ(G)는 c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)를 만족하며, 이는 고전적 그래프 매개변수와 연관된다.
• 모든 그래프 G에 대해 ξ(G) ≥ Δ(G)이며, 완전 그래프와 일부 트리와 같은 여러 가닥에서 등호가 성립한다.
• 최대 차수 Δ(G)가 유계일지라도 비유계로 많은 경찰이 필요로 하는 그래프가 존재하며, 이는 ξ(G)가 n에 따라 증가할 수 있음을 보여준다.
• 고지름을 갖는 삼차 그래프의 경우, ξ(G) = Ω(n^{1/6})이 성립함을 보여주며, 이는 희박한 그래프에서도 제압에 초과 정규적인 경찰 수가 필요로 할 수 있음을 시사한다.
• Petersen 그래프는 Δ(G) = 3명의 경찰로는 제압될 수 없으며, 일반적으로 δ > 2 이고 지름 ≥ 5인 δ-정규 그래프는 δ명의 경찰로는 제압될 수 없다.
• G□H가 G와 H가 모두 containable일 때 반드시 containable이라는 추측은 잘못되었으며, Q₃□K₂ = Q₄라는 반례로 이를 입증하였다.