[논문 리뷰] Continuity and differentiability properties of the isoperimetric profile in complete noncompact Riemannian manifolds with bounded geometry

Abraham Muñoz Flores, Stefano Nardulli|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 11.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 리만다이니안 다양체의 등주 프로파일 $I_M$가 유계 기하학을 갖는 완전한 비콤파クト 리만다이니안 다양체에서 연속성과 미분 가능성 성질을 확립한다. 이 기하학적 조건은 리치 곡률이 아래로 유계이고 단위 구의 부피가 일관되게 양수라는 조건으로 정의된다. 추가적인 기하학적 제약 조건 하에서, $I_M$이 미분 부등식을 만족하며, 기존의 콤팩트 경우에 대한 결과를 비콤팩트 경우로 확장한다.

ABSTRACT

For a complete noncompact connected Riemannian manifold with bounded geometry $M^n$, we prove that the isoperimetric profile function $I_{M^n}$ is continuous. Here for bounded geometry we mean that $M$ have $Ricci$ curvature bounded below and volume of balls of radius $1$, uniformly bounded below with respect to its centers. Then under an extra hypothesis on the geometry of $M$, we apply this result to prove some differentiability property of $I_M$ and a differential inequality satisfied by $I_M$, extending in this way well known results for compact manifolds, to this class of noncompact complete Riemannian manifolds with bounded geometry.

연구 동기 및 목표

• 완전한 비콤팩트 리만다이니안 다양체에서 등주 프로파일 $I_M$의 연속성을 확립하는 것.
• 추가적인 기하학적 가정 하에 $I_M$의 미분 가능성과 미분 부등식 결과를 콤팩트에서 비콤파クト 다양체로 확장하는 것.
• 유한 경계를 갖는 집합을 통해 강한 및 약한 형태의 등주 프로파일이 동치임을 보이는 것.
• 리치 곡률 하한과 잠재적 붕괴 조건 하에서 $I_M$의 연속성과 볼록성 유사 성질이 유지되는지 조사하는 것.
• 리치 곡률 하한 조건 하에서 비콤팩트이고 붕괴하지 않는 환경에서 바바르드-판수 유형 부등식의 타당성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 유한 경계를 갖는 집합을 통해 정의된 등주 프로파일의 약한 형태인 $\tilde{I}_M(v) = \inf\{\mathcal{P}(\Omega) : V(\Omega) = v, \Omega \in \tilde{\tau}_M\}$를 사용하여 고전적 정의를 일반화한다.
• 유계 변동 함수(BV) 이론과 축소 경계 $\partial^*\Omega$를 적용하여 부드럽지 않은 집합을 다루고 기하학적 정규성을 확보한다.
• 상수 곡률 $k$를 갖는 모델 공간 $\mathbb{M}_k^n$을 통해 비교 기하학을 적용하여 등주 영역의 평균 곡률와 내접 반경을 유계화한다.
• 비붕괴 조건(모든 $p \in M$에 대해 단위 구의 부피가 일관되게 양수)을 활용하여 작은 지오데식 구를 제거하거나 추가함으로써 시험 집합을 구성함으로써 반연속성을 증명한다.
• 부록에 수록된 바바르드-판수의 일반화된 등주 부등식을 적용하여 분포의 관점에서 $I_M - Cv^2$에 대한 미분 부등식을 유도한다.
• 모든 부피 $v \in (0, V(M))$에 대해 등주 영역의 존재성을 바탕으로 $I_M$에 대한 두 번째 순서 분포 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 비콤팩트 리만다이니안 다양체에서 리치 곡률 하한과 유계 기하학 조건 하에 등주 프로파일 $I_M$는 여전히 연속적인가?
• RQ2 어떤 기하학적 조건 하에서 $I_M$의 미분 가능성과 미분 부등식 결과를 콤팩트에서 비콤파クト 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ3 비콤팩트 다양체에서 등주 프로파일의 강한 형태와 약한 형태는 동치인가?
• RQ4 바바르드-판수의 볼록성 유사 부등식은 리치 곡률 하한 조건 하에 비콤파クト이고 붕괴하지 않는 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 리치 곡률 하한 조건 하에 등주 영역의 존재성 조건이 있더라도 붕괴 환경에서 $I_M$의 연속성이 보장되는가?

주요 결과

• 모든 완전한 비콤파クト 리만다이니안 다양체에서 $\mathrm{Ric} \geq k$ 이며 모든 $p \in M$에 대해 $\mathrm{Vol}(B(p,1)) \geq v_0 > 0$ 를 만족하는 유계 기하학 조건을 갖는 경우, 등주 프로파일 $I_M$은 $[0, V(M))$에서 연속이다.
• 모든 부피 $v \in (0, V(M))$에 대해 등주 영역의 존재성을 가정할 경우, $v \mapsto I_M(v) - C v^2$는 분포의 관점에서 두 번째 도함수가 음이거나 0이다. 여기서 상수 $C = C(a,b,n,k,M)$이다.
• 리치 곡률 하한 $k < 0$ 이며 동일한 존재성 조건이 만족될 경우, 분포의 관점에서 미분 부등식 $I_M''(v) \leq -\frac{(n-1)k}{I_M(v)}$ 가 성립한다.
• 강한 형태와 약한 형태의 등주 프로파일은 동치이며, $I_M = \tilde{I}_M$ 이다. 이는 비콤팩트 환경에서도 성립한다.
• 연속성 증명은 비붕괴 조건을 활용하여 일정 크기의 작은 지오데식 구를 추가하거나 제거함으로써 시험 집합을 구성하는 데 의존한다.
• 결과는 유계 기하학 조건 하에서 기존의 콤팩트 다양체에 대한 고전 결과를 비콤파クト 다양체로 확장한다. 저자들은 리치 곡률 하한 조건만을 갖는 경우에 연속성이 성립하는지 여부는 여전히 열려 있다고 언급한다.