[논문 리뷰] Continuous Abstraction of Nonlinear Systems using Sum-of-Squares Programming

Stanley W. Smith, Yin, He외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 13.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어-압력 시스템의 연속 상태 추상화에 대해 증명 가능한 오차 범위를 계산하고 저수준 제어기를 설계하기 위해 제곱합(SOS) 프로그래밍 접근법을 제안한다. 시스템 동역학을 다항식으로 근사하고, 추상 상태 및 입력을 준대수집으로 제한함으로써, 제어기 합성과 오차 경계 계산을 SOS 최적화 문제로 공식화하여, 불변성 또는 점진적 소산성 조건을 요구하지 않고도 확장 가능한 검증 가능한 제어 설계를 가능하게 한다. 주요 기여는 고차원 비선형 시스템을 위한 계산적으로 구현 가능한 검증 유지 추상화 프레임워크이다.

ABSTRACT

We present a control design procedure for nonlinear control systems in which we represent a potentially high dimensional system with a low dimensional continuous-state abstraction. The abstraction generates a reference which the original system follows with a low level controller. We propose sum-of-squares programming as a tool to design this controller and to provide an upper bound on the relative error between the system and its abstraction. We compute the low level controller simultaneously with a simulation function that gives the boundedness guarantee for the relative error.

연구 동기 및 목표

• 고차원 사이버-물리 시스템에서 형식적 방법의 확장성 한계를 해결하기 위해 저차원 연속 상태 추상화를 가능하게 한다.
• 불변성 또는 점진적 소산성 조건을 요구하지 않고도 원래 시스템과 그 추상화 간의 오차가 유한함을 보장하는 저수준 제어기를 설계한다.
• 제곱합 최적화를 사용하여 실제 시스템과 그 추상화 간의 증명 가능한 날카운 오차 경계를 계산한다.
• 수용 가능한 오차 경계를 달성하기 위해 제약 조건 집합을 체계적으로 개선하는 반복적 정밀화 절차를 제공한다.
• 플라토닝 및 이중 펜듈럼 제어와 같은 비선형 예제들을 통해 광범위한 적용 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 비선형 제어-압력 시스템과 그 저차원 추상화를 다항식 동역학을 사용해 기술한다.
• 실제 시스템이 따라야 할 기준 궤적을 생성하기 위해 맨포ลด 씨매핑 π(ˆx)를 정의한다.
• 추상화에서의 편차를 모델링하기 위해 오차 동역학 시스템 ˙e = fe(e, ˆx, ˆu) + ge(e, ˆx)κ(e, ˆx, ˆu)를 구성한다.
• 제곱합(SOS) 최적화를 사용하여 동시에 저수준 제어기 κ와 오차 유한성을 증명하는 리아푸노프 유사 시뮬레이션 함수 V를 합성한다.
• 추상 상태 ˆX와 입력 ˆU에 준대수적 제약 조건을 적용하고, 제어 입력 한계 U를 SOS 제약 조건으로 통합한다.
• 최적화 문제를 서브레벨 집합 ΩVγ의 부피를 최소화하는 것으로 공식화하며, 이는 오차 경계로 기능하고, 전방 불변성과 제어기 타당성을 보장하는 SOS 조건을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변성 또는 점진적 소산성 조건을 요구하지 않고도 SOS 프로그래밍을 사용하여 비선형 시스템의 저수준 제어기 설계와 오차 경계 계산이 가능한가?
• RQ2 초기 오차 경계가 너무 클 경우, 원하는 오차 경계를 달성하기 위해 제약 조건 집합을 어떻게 체계적으로 정밀화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 SOS 기반 추상화 프레임워크는 플라토닝 및 이중 펜듈럼 제어와 같은 실용적 비선형 제어 문제에 적용 가능한가?
• RQ4 실제 비선형 시스템에 대해 SOS 최적화 문제를 해결하는 데 있어 계산 가능성은 어떠한가?
• RQ5 추상화 매니폴드와 다항식 근사의 선택이 오차 경계의 날카움에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 2대의 차량 플라토닝 예제에 대해 저수준 제어기와 증명 가능한 오차 경계를 성공적으로 계산하였으며, 지정된 STL 사양 내에서 원하는 간격 확장 조작을 달성하였다.
• 플라토닝 예제에서 SOS 최적화는 표준 워크스테이션에서 약 15분 내에 해결되었고, 오차 경계는 서브레벨 집합 ΩVγ 내에 포함되어 있었다.
• 이중 펜듈럼 예제에서는 실제 시스템의 위상도와 추상화 간의 오차가 작게 유지되었고, 제어 입력 궤적은 추상 제어기와 밀접하게 따라갔다.
• 이중 펜듈럼 예제는 5분 이내에 해결되어, 최대 8개 상태를 가진 시스템에 대해 이 방법의 계산 효율성을 입증하였다.
• 반복적 정밀화 절차는 추상 상태 및 입력 집합에 대한 준대수적 제약 조건을 강화함으로써 오차 경계를 성공적으로 감소시켰다.
• 이 방법은 영오차 매니폴드의 불변성 또는 점진적 소산성과 같은 제한적인 가정을 피함으로써, 더 넓은 범위의 비선형 시스템에 적용 가능성을 넓혔다.