[논문 리뷰] Continuous invertibility and stable QML estimation of the EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 14.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 43인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 확률적 반복 방정식(stochastic recurrence equations)에 기반한 볼라티리티 모델에서 연속적 역가능성(continuous invertibility)을 안정성 조건으로 도입하여, 명시적이지만 관측 불가능한 조건 하에서 EGARCH(1,1) 모델의 준최대우도추정량(Quasi Maximum Likelihood Estimator, QMLE)의 강한 일致성을 증명한다. 또한 최적화를 경험적 연속적 역가능 영역으로 제약함으로써 강한 일치성과 점근적 정규성을 보장하는 안정적 QMLE(SQMLE) 방법을 제안한다. 이는 최소한의 정규성 가정 하에서도 성립한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \\cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

연구 동기 및 목표

• 관측 불가능한 조건 하에서 이전에 증명되지 않은 EGARCH(1,1) 모델의 QMLE에 대한 강한 일치성을 확립하는 것.
• 스토케스틱 반복 방정식(SREs)에 의해 구동되는 볼라티리티 모델에 대해 컴팩트 집합 위에서 연속적 역가능성의 개념을 정의하고 체계화하는 것.
• 최적화를 연속적으로 역가능한 영역로 제약하여 강한 일치성을 보장하는 실용적인 추정 방법—안정적 QMLE(SQMLE)—을 개발하는 것.
• 최소한의 추가 정규성 가정 하에서 SQMLE의 점근적 정규성을 증명하는 것.
• 특히 넬슨의 경험적 추정량에 대한 오랜 이론적 공백을 메우기 위해 EGARCH(1,1) 모델의 QMLE 성질에 대한 이론적 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• SRE에 의해 구동되는 볼라티리티 모델에 대해 연속적 역가능성의 개념을 도입하여, 컴팩트한 매개변수 집합에서 반복적 볼라티리티 역학의 안정성을 보장한다.
• 역행 SRE의 재귀적 해를 사용하여 준우도(QL) 기준을 정의한다: $ \tilde{g}_{t+1}(\theta) = \tilde{\theta}_t(\tilde{g}_t(\theta), \theta) $, 여기서 $ \tilde{g}_0(\theta) $ 는 임의이다.
• 최적화 영역을 경험적 연속적 역가능 집합으로 제약하여 안정적 QMLE(SQMLE)를 제안함으로써 안정성과 일치성을 보장한다.
• SRE 도함수의 리아풀로프 지수에 대해 하향적 에르고딕 정리를 적용하여 헤시안 차이의 카에사로 평균의 거의확실 수렴을 증명한다.
• 헤시안 차이 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ 에 대한 재귀적 경계를 사용하여 추정 오차를 통제하고 수렴성을 증명한다.
• 로그 모멘트 존재성과 SRE의 도함수 유계성 등을 포함한 최소한의 모멘트 및 정규성 조건 하에서 SQMLE의 점근적 정규성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EGARCH(1,1) 모델의 준최대우도추정량(QMLE)이 어떤 조건에서 강하게 일치하는가?
• RQ2 최적화 영역을 역가능성 보장 영역으로 제약함으로써 실무적으로 QMLE를 안정화시킬 수 있는가?
• RQ3 연속적 역가능성은 SRE 기반 볼라티리티 모델에서 QMLE의 안정성과 일치성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 최소한의 정규성 조건 하에서 안정적 QMLE(SQMLE) 추정량이 점근적 정규성을 확보하는가?
• RQ5 SRE와 역가능성 이론을 활용하여 넬슨의 경험적 QMLE의 이론적 성질을 엄밀하게 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 관측 불가능한 명시적 조건 하에서 EGARCH(1,1) 모델의 QMLE가 강하게 일치함을 증명하여 오랫동안 남아있던 이론적 공백을 해소한다.
• 데이터가 역가능한 EGARCH(1,1) 모델을 따를 경우, 최적화 영역을 연속적으로 역가능한 영역으로 제약하면 안정적 QMLE(SQMLE) 추정량이 강하게 일치함을 보였다.
• 로그 모멘트 존재성과 SRE의 도함수 유계성 등을 포함한 최소한의 추가 가정 하에서 SQMLE는 점근적 정규성을 확보한다.
• 하향적 에르고딕 이론을 통해 헤시안 차이의 카에사로 평균 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ 이 거의확실하게 0으로 수렴함을 증명하였다.
• 논문은 재귀적 헤시안 차이가 수렴하여 0이 되는 랜덤 함수로 유계됨을 보여주어 추정량의 점근적 정규성을 보장한다.
• SRE가 연속적으로 역가능한 영역 내에서 최적화 경로가 유지되도록 함으로써 QMLE를 안정화시키며, 볼라티리티 예측의 폭발적 행동을 방지한다.