[논문 리뷰] Continuous Matrix Product States for Inhomogeneous Quantum Field Theories: a Basis-Spline Approach

Martin Ganahl|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 02.

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 (1+1)차원에서 비균일한 양자장 이론의 지배 상태를 변분 최적화할 수 있도록 스퍼플 기반 연속 행렬 곱 상태(spMPS) 형식을 도입한다. 기저 스퍼플 보간법과 새로운 재게이지 기법을 활용하여, 이전에 이동 대칭 시스템에 대해 개발된 최적화 알고리즘을 주기적 비균일 해밀토니안으로 확장함으로써, 주기적 위치에 있는 Lieb-Liniger 보존의 기본 상태를 성공적으로 계산하였다.

ABSTRACT

Continuous Matrix Product States (cMPS) are powerful variational ansatz states for ground states of continuous quantum field theories in (1+1) dimension. In this paper we introduce a novel parametrization of the cMPS wave function based on basis-spline functions, which we coin spline-based MPS (spMPS), and develop novel regauging techniques for inhomogeneous cMPS. We extend a recently developed ground-state optimization algorithm for translational invariant cMPS [M. Ganahl, J. Rincón, G.Vidal. Phys.Rev.Lett. 118,220402 (2017)] to the case of inhomogeneous cMPS and, as proof-of-principle, use it to obtain the ground-state of a gas of Lieb-Liniger bosons in a periodic potential. The proposed method provides a first working implementation of a cMPS optimization for non-translational invariant continuous Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 비균일한 양자장 이론에서 연속 행렬 곱 상태(cMPS)에 대한 효율적인 최적화 방법의 부족을 해결한다.
• 이동 대칭이 아닌 해밀토니안에 대해 cMPS를 최적화하는 데 있어 여전히 열려 있는 문제를 해결한다.
• 기저 스퍼플 함수를 사용하여 cMPS 파동함수의 수치적으로 안정적이고 효율적인 매개변수화를 개발한다.
• spMPS를 위한 새로운 재게이지 절차를 도입하여 변분 최적화 알고리즘을 비균일 시스템으로 확장한다.
• 주기적 위치에 있는 상호작용하는 Lieb-Liniger 보존의 기본 상태를 계산하여 방법의 타당성을 입증한다.

제안 방법

• cMPS 안식에서 행렬 값 함수 Q(x)와 R(x)를 기저 스퍼플 함수로 표현함으로써, cMPS 파동함수의 스퍼플 기반 매개변수화인 spMPS를 제안한다.
• 연속 시스템의 격자 기반 이산화를 구현하며, Q(x_i)와 R(x_i)를 이산적 점 x_i에서 정의하고 B-스플라인을 통해 보간한다.
• spMPS에 특화된 새로운 재게이지 알고리즘을 개발하여 최적화 과정에서 게이지 불변성과 수치적 안정성을 유지한다.
• 이전에 개발된 이동 대칭 cMPS에 대한 기본 상태 최적화 알고리즘을 주기적 경계 조건과 spMPS 구조를 통합하여 비균일한 경우로 확장한다.
• 정규화된 세포 전이 연산자 T_l⊥(x_i)와 T_r⊥(x_i)를 포함하는 기하급수를 푸는 데 희박한 선형 해법기(예: lgmres)를 사용하며, 항등원 행렬에 수직으로 투영함으로써 발산을 제거한다.
• spMPS 형식에서 유도된 진동 방정식을 사용하여 보조 상태 H_l(x_i)와 H_r(x_i)를 기준점(예: x_i = 0)에서 다른 격자 점으로 진동시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스퍼플 기반 매개변수화(spMPS)가 비균일한 cMPS 파동함수에 대해 안정적이고 효율적인 표현을 제공할 수 있는가?
• RQ2 재게이지 기법은 spMPS 프레임워크 내에서 게이지 불변성과 수치 정확도를 유지하기 위해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 이동 대칭 cMPS에 대한 기본 상태 최적화 알고리즘을 비균일하고 주기적인 해밀토니안으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 spMPS 형식은 공간 비균일성을 가진 강한 상호작용 양자장 이론, 예를 들어 주기적 위치에 있는 Lieb-Liniger 보존의 기본 상태를 정확히 기술할 수 있는가?
• RQ5 전이 연산자의 정규화가 spMPS의 안정적인 에너지 기대값 계산을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 spMPS 형식은 비균일한 연속 양자장 이론에 대해 cMPS의 변분 최적화를 성공적으로 가능하게 하여, 이동 대칭이 아닌 해밀토니안에 대한 첫 번째 작동 가능한 구현을 이루었다.
• 기저 스퍼플 보간법을 사용함으로써 cMPS 파동함수의 매끄럽고 융통성 있고 수치적으로 안정적인 매개변수화가 이루어졌으며, 단순한 격자 이산화에서 발생하는 문제를 피할 수 있었다.
• 개발된 재게이지 기법은 공간 전역에서 보조 상태의 일관되고 안정적인 진동을 가능하게 하여 게이지 불변성을 유지하고 정확한 에너지 계산을 가능하게 하였다.
• 확장된 최적화 알고리즘이 주기적 위치에 있는 Lieb-Liniger 보존 기체의 기본 상태를 성공적으로 계산하여, 방법의 타당성과 정확성을 입증하였다.
• 세포 전이 연산자에서 항등원 성분을 제거하는 정규화가 기하급수의 발산을 제거하여 유한하고 의미 있는 에너지 기대값 계산을 가능하게 하였다.
• 희박한 선형 해법기(예: lgmres)를 통해 보조 상태 방정식을 풀어 수렴을 달성하였으며, 한 지점의 해를 이용해 다른 지점으로 진동시키므로 계산 비용을 크게 감소시켰다.