[논문 리뷰] Continuous Optimization for Control of Hybrid Systems with Hysteresis via Time-Freezing

Armin Nurkanović, Moritz Diehl|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 22.

Piezoelectric Actuators and Control참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 히스테리시스를 가진 하이브리드 시스템을 조각별로 연속적인 시스템(PSS)으로 변환하는 시간 정지 재구성 기법을 제안한다. 이는 정수 변수 없이 연속 비선형계획법(NLP)을 통해 고정밀 최적 제어를 가능하게 하며, 상태 점프를 부드러운 동역학으로 전환시켜 FESD 방법을 활용한 시간 최적 제어 문제의 정확한 해법을 가능하게 한다. 기존의 혼합정수계획법보다 정확도와 안정성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

This article regards numerical optimal control of a class of hybrid systems with hysteresis using solely techniques from nonlinear optimization, without any integer variables. Hysteresis is a rate independent memory effect which often results in severe nonsmoothness in the dynamics. These systems are not simply Piecewise Smooth Systems (PSS); they are a more complicated form of hybrid systems. We introduce a time-freezing reformulation which transforms these systems into a PSS. From the theoretical side, this reformulation opens the door to study systems with hysteresis via the rich tools developed for Filippov systems. From the practical side, it enables the use of the recently developed Finite Elements with Switch Detection [Nurkanovic et al., 2022], which makes high accuracy numerical optimal control of hybrid systems with hysteresis possible. We provide a time optimal control problem example and compare our approach to mixed-integer formulations from the literature.

연구 동기 및 목표

• 비선형성과 시간 최적 제어 문제에서 정밀한 스위칭 시간이 요구되는 히스테리시스를 포함한 하이브리드 시스템의 수치적 최적 제어 문제(OCP) 해결 과제를 다루기.
• 비선형성 또는 시간 최적 문제에서 정밀한 스위칭 시간이 필요한 혼합정수최적계획(MIOP) 기법의 계산 불가능성 문제를 해결하기.
• 히스테리시스 시스템을 시간 정지 기반으로 재구성함으로써 조각별로 연속적인 시스템(PSS)으로 변환하여 고급 연속 최적화 기법(FESD 방법)의 적용을 가능하게 하기.
• 시간 정지 기반으로 히스테리시스 동역학을 PSS로 변환하는 구조적이고 이론적으로 타당한 방법을 제시하여 해의 등가성을 보장하기.
• 시간 최적 제어 문제에서 연속 최적화 기법이 혼합정수계획법보다 정확도, 수렴 안정성, 계산 효율성 면에서 뛰어나다는 것을 입증하기.

제안 방법

• 히스테리시스 상태 w(t)를 연속 미분 상태로 간주하는 시간 정지 재구성 기법을 제안하며, 보조 동역학과 시계 상태를 도입하여 상태 점프를 모델링한다.
• 보조 시스템의 진동 동안 정지하는 시계 상태를 도입하여, 연속적인 시간 정지 시스템으로부터 원래의 불연속 해를 재구성할 수 있도록 한다.
• 원래 시스템이 접근할 수 없는 영역에서 진동하는 보조 상미분방정식(ODE)을 구성하며, 종점이 상태 점프 법칙을 만족하도록 하여 해의 등가성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 PSS의 고차수·고정밀 이산화를 위해 FESD(Finite Elements with Switch Detection) 방법을 사용하여 비연속 OCP의 정확한 해법을 가능하게 한다.
• MPCC(Mathematical Program with Complementarity Constraints)로 OCP를 재구성하고, Gurobi나 Bonmin과 같은 혼합정수계획법 대신 IPOPT와 같은 NLP 솔버를 사용하여 해를 구한다.
• NOSNOC 소프트웨어 패키지에 이 방법을 구현하여 CasADi와 IPOPT를 통합하여 이산화된 MPCC의 효율적 해법을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히스테리시스를 포함한 하이브리드 시스템은 정수 변수 없이 조각별로 연속적인 시스템(PSS)으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 시간 정지 재구성 기법은 원래의 히스테리시스 시스템과 변환된 PSS 사이의 해의 등가성을 유지하는가?
• RQ3 연속 비선형계획법(NLP) 기법만으로도 하이브리드 시스템의 히스테리시스를 고정밀 최적 제어로 해결할 수 있는가?
• RQ4 연속 FESD 기반 접근법은 기존의 혼합정수최적계획(MIOP) 기반 방법과 비교해 정확도와 수렴 성능 면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 시간 정지 기법은 복잡한 히스테리시스 동역학을 가진 시간 최적 제어 문제의 안정적이고 정밀한 해법을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 시간 정지 재구성 기법은 히스테리시스를 포함한 특정 하이브리드 시스템을 PSS로 성공적으로 변환하여 고급 연속 최적 제어 기법의 적용을 가능하게 하였다.
• 시간 정지 PSS에 적용된 FESD 방법은 종단 제약 위반을 9.49×10⁻²로 저감하였으며, Gurobi와 Bonmin이 각각 7.88×10¹을 기록한 것에 비해 현저히 낮았다.
• NOSNOC(IPOPT 사용)는 OCP를 8.87초 내에 해결하였고, 최종 시간 Tf = 10.26를 기록하여, Gurobi(5.31초)보다 약간 느렸지만 정확도 면에서 뛰어난 성능을 보였다. Bonmin은 1481.58초가 소요되어 떨어졌다.
• IPOPT를 사용한 연속 NLP 기반 접근법은 혼합정수계획법보다 더 뛰어난 수렴 안정성을 보였으며, 일부 이산화 변형에서 Gurobi가 성공한 데 반해 IPOPT는 수렴 실패를 겪기도 하였다.
• 해의 등가성은 원래의 히스테리시스 시스템과 시간 정지 PSS 간에 엄밀히 증명되었으며, 이는 재구성 기법의 이론적 타당성을 입증한다.
• 그림 4에서 보듯이, 터보차저를 최적화하여 시간을 최소화하는 매끄럽고 직관적인 제어 프로파일이 도출되었으며, 이는 히스테리시스를 포함한 시간 최적 제어 문제의 고정밀 해법이 가능함을 보여준다.