[논문 리뷰] Continuous solutions to Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds for measures dominated by capacity

Sławomir Kołodziej, Ngoc Cuong Nguyen|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캡ACITY에 의해 지배되는 넓은 범위의 조건을 만족하는 조건, 즉 중간 조건을 가진 조건 및 오르리츠 유형 클래스에 속하는 조건을 포함하여, 컴팩트 허미션다이안 포장에서 복소 몽에-암페르 방정식의 연속적인 준다중하모닉 해의 존재를 확립한다. 핵심 기여는 관련 기능이 ω-다중하모닉 함수의 단위 구의 공간에서 허더 연속성을 보일 때, 해당 조건이 허더 연속적인 잠재력을 가짐을 특성화하는 것이다.

ABSTRACT

We prove the existence of a continuous quasi-plurisubharmonic solution to the Monge-Ampère equation on a compact Hermitian manifold for a very general measre on the right hand side. We admit measures dominated by capacity in a certain manner, in particular, moderate measures studied by Dinh-Nguyen-Sibony. As a consequence, we give a characterization of measures admitting Hölder continuous quasi-plurisubharmonic potential, inspired by the work of Dinh-Nguyen.

연구 동기 및 목표

• 카이러 설정을 넘어서 컴팩트 허미션다이안 포장에서 복소 몽에-암페르 방정식의 연속 해 존재를 확장하기.
• 해당 기능에 대한 함수해석학적 조건을 이용해 허더 연속적인 준다중하모닉 잠재력을 가진 조건을 특성화하기.
• 딘-낭-신보 및 파문-부의 결과를 안정성과 유일성에 기반해 캡ACITY에 의해 지배되는 조건 하에서 허미션다이안 설정으로 일반화하기.
• 캡ACITY 및 기능 정규성에 기반한 국소 기준을 통해 중간 조건 및 잠재력의 허더 연속성을 특성화하기.

제안 방법

• 카이러 다양체에서의 방법을 확장하여 허미션 기하학에 적합한 다중포텐셜 이론의 활용.
• 측도 클래스 $\mathcal{F}(X,h)$의 정의로, 가중 함수 $h$가 캡ACITY 지배를 제어하며, $h(x) = Cx^{n\tau}$ 및 $h(x) = Ce^{\alpha x}$ 포함.
• 캡ACITY에 의해 지배되는 조건 하에서 몽에-암페르 해의 안정성 추정에의 적용, 핵심 추정 $\Gamma(s) = Cs^\alpha$.
• 국소 허더 연속성 기준(보조정리 5.3)의 활용으로 전역 문제를 국소 문제로 환원.
• 기능 $\hat{\mu}$가 $\mathcal{S}$에서 허더 연속임과 허더 연속적인 잠재력의 존재가 동치임을 증명.
• 기존의 중간 조건 및 캡ACITY 지배에 관한 결과를 활용하여, 파문과 부의 정리들을 허미션다이안 다양체로 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 라돈 측도 $\mu$가 컴팩트 허미션다이안 다양체에서 $(\omega + dd^c u)^n = c\mu$의 연속적인 $\omega$-다중하모닉 해를 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 몽에-암페르 방정식의 해 $u$가 허더 연속일 때, 이를 만족하는 측도 $\mu$는 어떤 특성을 가진다?
• RQ3 딘-낭의 허더 연속 잠재력을 가진 측도의 특성화를 카이러에서 허미션다이안 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ4 허미션다이안 설정에서 캡ACITY에 의해 지배되는 조건 하에서 몽에-암페르 해의 안정성 추정 및 유일성 결과는 어느 정도 유지되는가?
• RQ5 실 초면 위의 체적 형태와 같은 특이 측도의 결과는 캡ACITY 기반 기준을 사용해 허미션다이안 다양체로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\mu \in \mathcal{F}(X,h)$에 대해 $h(x) = Cx^{n\tau}$ 또는 $h(x) = Ce^{\alpha x}$일 때, 연속적인 $\omega$-다중하모닉 해 $u$와 상수 $c > 0$가 존재하여 $(\omega + dd^c u)^n = c\mu$를 만족한다.
• 기능 $\hat{\mu}(v) = \int_X v d\mu$는 $\mathcal{S} = \{v \in PSH(\omega) : -1 \leq v \leq 0, \sup_X v = 0\}$에서 허더 연속이 될 조건과 $\mu$가 $\mathcal{H}(\tau)$에 속하고, 허더 연속적인 $\omega$-다중하모닉 잠재력을 가짐이 동치이다.
• 모든 $\mu$가 $\mu(B(x,t)) \leq A t^{2n-2+\alpha}$를 만족하고, $0 < t \leq t_0$이며, $f \in L^p(X, d\mu)$, $p > 1$일 때, 상수 배수까지 허더 연속적인 $\omega$-다중하모닉 잠재력을 가진다.
• 파문과 부의 실 초면의 매끄러운 체적 형태에 관한 정리를 허미션다이안 설정으로 확장하였으며, 국소 허더 기준을 활용한 간소화된 증명을 제공한다.
• 기능 $\hat{\mu}$는 $\mu$가 중간 조건일 때, 즉 $\mu \leq C (dd^c \varphi)^n$를 만족하고, 어떤 허더 연속 함수 $\varphi$가 존재할 때, $\mathcal{S}$에서 허더 연속이다.
• [DN14, 보조정리 4.4]의 증명은 허미션다이안 다양체로 확장되며, $\hat{\mu}$가 $\{v \in PSH(\omega) : \sup_X v = 0\}$에서 허더 연속이면 $\mu$가 중간 조건임을 보여준다.