[논문 리뷰] Continuous-time models with an autoregressive structure

Andreas Basse-O’Connor, Mikkel Slot Nielsen외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자코브스토르름 구조를 가진 두 개의 연속시간 모델을 제안한다: 확률적 지연 미분 방정식(SDDE)과 이동 평균 기반 수준 모델. 정적해의 존재성과 유일성을 확립하고, CARMA 및 이산시간 ARMA 과정과의 연관성을 제시하며, 장기적 의존성은 핵함수가 아닌 소음 과정을 통해 발생함을 보이며, 역가능한 CARMA 과정이 SDDE 프레임워크의 해로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we suggest two continuous-time models which exhibit an autoregressive structure. We obtain existence and uniqueness results and study the structure of the solution processes. One of the models, which corresponds to general stochastic delay differential equations, will be given particular attention. We use the obtained results to link the introduced processes to both discrete-time and continuous-time ARMA processes.

연구 동기 및 목표

• 엄밀한 수학적 기반을 바탕으로 연속시간 자기상관 모델을 개발하기 위해.
• 일반적인 소음 과정을 갖는 확률적 지연 미분 방정식(SDDE)에 대해 정적해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 제안된 모델이 CARMA 및 이산시간 ARMA 과정과 같은 기존 클래스와 어떻게 연결되는지 밝히기 위해.
• 연속시간 이동 평균에서 장기적 의존성을 생성하는 데 있어 소음 과정의 역할을 명확히 하기 위해.
• 직접적으로 과거 값과 레비 기반 이동 평균을 통해 과정을 정의하는 새로운 수준 모델 설정을 도입하고 분석하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 지연 측도와 정적 증분 소음을 갖는 확률적 지연 미분 방정식(SDDE)을 통한 연속시간 자기상관 모델을 설정: $ dX_t = \left(\int_{[0,\infty)} X_{t-u} \eta(du)\right) dt + dZ_t $, 여기서 $ Z_t $ 는 정적 증분을 갖는다.
• 수준 모델을 제안: $ X_t = \int_0^\infty X_{t-u} \phi(du) + \int_{-\infty}^t \theta(t-u) dL_u $, 이는 과거 값과 레비 기반 이동 평균을 통해 과정을 직접 정의한다.
• 이동 평균 이론과 확률적 푸비니 정리를 활용하여 컨볼루션과 핵함수 $ x_0 $ 를 통해 해를 유도하며, 적분 가능성과 정적성을 보장한다.
• 푸리에 변환과 $ L^2 $ 수렴을 적용하여 해 과정이 레비 과정 $ L_t $ 의 이동 평균임을 보이며, 핵함수 $ \psi = \theta * x_0 $ 를 갖는다.
• 적절한 핵함수와 소음 조건 하에서 역가능한 CARMA 과정이 SDDE 프레임워크의 해로 나타남을 증명한다.
• $ L^1 $ 및 $ L^2 $ 수렴 논증을 활용하여 근사 수열의 거의 확실 수렴과 평균 제곱 수렴을 입증함으로써 해가 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 지연 측도와 정적 증분 소음을 갖는 확률적 지연 미분 방정식을 통해 연속시간 자기상관 과정을 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 모델은 고전적인 CARMA 및 이산시간 ARMA 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 SDDE에 대해 정적해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 연속시간 이동 평균에서 장기적 의존성은 핵함수가 아닌 소음 과정을 통해 생성될 수 있는가?
• RQ5 수준 모델의 해를 레비 과정의 이동 평균으로 표현할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 소음 과정 $ Z_t $ 가 $ \int_{\mathbb{R}} [\theta(t-u) - \theta_0(-u)] dL_u $ 의 형태를 띠며, $ \theta_0 $ 가 핵함수의 적분이 0이 되도록 선택될 경우, SDDE의 해는 정적 연속시간 이동 평균 과정이 된다.
• 유도된 과정에서의 장기적 의존성은 지연 측도 $ \eta $ 가 아니라 소음 과정 $ Z_t $ 에서 기인하며, 정적성을 확보하기 위해 $ \eta $ 는 컴actsupport되어야 한다.
• 역가능한 CARMA 과정이 SDDE 프레임워크의 해로 나타남을 입증하였으며, 이동 평균 표현에서의 핵함수 $ \psi $ 는 $ \psi = \theta * x_0 $ 로 주어지며, 여기서 $ x_0 $ 는 지연와 관련된 볼테라 방정식의 해이다.
• 수준 모델 설정은 핵함수 $ \psi $ 가 컨볼루션 급수 $ \sum_{k=0}^n \theta * \phi^{*k} $ 의 $ L^2 $ 극한일 경우 해가 정적 이동 평균 과정이 됨을 보장한다.
• 수준 모델의 해는 $ L^2 $ 수렴을 통해 $ X_t = \int_{\mathbb{R}} \psi(t-u) dL_u $ 로 수렴하며, 여기서 $ \psi $ 는 급수 $ \sum_{k=0}^\infty \theta * \phi^{*k} $ 의 $ L^2 $ 극한이다. 이는 과정이 이동 평균임을 증명한다.
• 해 과정 $ X_t $ 가 거의 확실히 정적임을 입증하기 위해, 리만 합의 근사 수열이 $ L^1 $ 수렴함을 보이며, 극한의 거의 확실 수렴을 보였다.