[논문 리뷰] Continuous-time trading and emergence of randomness

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|2007. 12. 08.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 확률과정을 가정하지 않고 연속시간 금융시장을 위한 게임이론적 프레임워크를 제안하며, 영확률 이벤트를 정의한다. 최소한의 가정 하에 자산 가격 경로가 브라운 운동의 특성—예를 들어 고립된 영점이 없고 엄격한 국소 극값이 없는 것—을 거의 확실하게 갖는다는 것을 증명한다. 이는 연속 거래 전략에서 비롯된 랜덤성의 발생 때문이다.

ABSTRACT

A new definition of events of game-theoretic probability zero in continuous time is proposed and used to prove results suggesting that trading in financial markets results in the emergence of properties usually associated with randomness. This paper concentrates on "qualitative" results, stated in terms of order (or order topology) rather than in terms of the precise values taken by the price processes (assumed continuous).

연구 동기 및 목표

• 비표준 해석이나 사전 확률과정 가정 없이 연속시간에서 영확률 사건을 게임이론적으로 정의하기 위해.
• 이dealized 시장에서 연속 거래가 자연스럽게 어떤 브라운 운동의 표본 경로 성질을 유도하는지 조사하기 위해.
• 일반적으로 랜덤성과 관련된 성질—예를 들어 고립된 영점이 없거나 엄격한 단조성의 부재—이 최소한의 시장 효율성 가정 하에 거의 확실하게 성립함을 보여주기 위해.
• 확률 모델링이 아니라 연속 거래 전략의 구조에서 비롯된 랜덤성과 유사한 행동의 발생을 체계화하기 위해.
• 거래 프로토콜을 통해 금융 가격 경로에서 랜덤성의 출현을 이해하기 위한 비확률적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 현실(가격 경로를 설정함)과 의심자(이익을 얻기 위해 거래함) 사이의 연속시간 게임을 정의한다.
• 모든 [0, ∞)에서 연속적인 실수 함수로 이루어진 공간 $\Omega$에서 가격 경로를 연속 함수로 모델링한다.
• 정지 시간의 수열과 그 시점에서 유계이며 가측적인 포트폴리오를 사용하여 초등 거래 전략을 정의한다.
• 유한한 총 초깃금을 갖는 초등 자본 과정의 합으로 양의 자본 과정을 구성하여 극한에서 무보상 기회가 없도록 보장한다.
• 상한 확률 $\overline{\mathbb{P}}(E)$를 정의한다. 이는 이벤트 $E$의 지표 함수를 결국 초월할 수 있도록 하는 최소한의 초깃금의 하한으로 정의된다.
• 이산 가격 수준 목표와 작은 수익을 갖는 루트-법칙 스타일 전략을 사용하여, 특정 규칙성 특성을 위반하는 경로에서 자본이 증가하도록 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률과정을 가정하지 않고 연속 거래에서 어떤 브라운 운동의 표본 경로 성질을 도출할 수 있는가?
• RQ2 비표준 해석 없이 연속시간에서 게임이론적 확률의 영이벤트를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 가격 경로에서 고립된 영점이나 엄격한 국소 극값이 없는 것이 어떤 조건에서 거의 확실하게 성립하는가?
• RQ4 확률적 가정 없이 $\sqrt{dt}$ 스케일링 행동이 게임이론적 프레임워크에서 어떻게 유도될 수 있는가?
• RQ5 일반적으로 랜덤성과 관련된 성질이 랜덤성 자체가 아니라 연속 거래의 메커니즘에서 얼마나 자연스럽게 유도되는가?

주요 결과

• 논문은 가격 경로가 거의 확실하게 고립된 영점을 갖지 않음을 입증한다. 즉, 어떤 점에서 가격이 이웃 영역에서 영이 아니면 영점이 되지 않는다는 뜻이다.
• 가격 경로는 거의 확실하게 엄격한 증가 또는 감소 점을 갖지 않으며, 이는 엄격한 국소 단조성의 부재를 의미한다.
• 초깃금이 1에 임의로 가까운 양의 자본 과정을 구성할 수 있으며, 이는 고립된 영점이나 엄격한 극값이 없는 성질을 위반하는 경로에서 무한히 증가한다.
• 전략은 이산 가격 수준에서의 작은, 유계된 베팅의 순서에 기반하며, 규칙성 파괴 행동을 피하는 경로에서 수익이 누적된다.
• 결과적으로, 원하는 랜덤성과 유사한 성질을 만족하지 못하는 경로에서는 구성된 전략의 최종 자본을 임의로 크게 만들 수 있으며, 이는 이러한 성질이 게임이론적으로 불가능함을 증명한다.
• 이 방법은 비표준 해석을 피하고 대신 리만 합과 이산 근사화를 사용하여 연속 행동을 시뮬레이션함으로써 체계적이고 접근 가능한 방법을 보장한다.