[논문 리뷰] Continuum as a primitive type

Stanisław Ambroszkiewicz|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속체를 유형 이론에서 원시 유형으로 간주해야 한다고 제안하며, 브라우어의 직관주의적 연속성 시각에 기반한다. 코시 수열이나 딜레르트 컷과 같은 집합론적 구성 방식을 회피하고, 인접성(adjacency)을 기본 개념으로 도입함으로써, 고전적 실수 정의의 대체 구축적 접근을 제공한다. 브라우어의 연속성 정리 역시 연속성 공리가 아닌 새로운 논리 원리에 의해 재해석된다.

ABSTRACT

It is a ubiquitous opinion among mathematicians that a real number is just a point in the line. If this rough definition is not enough, then a mathematician may provide a formal definition of the real numbers in the set theoretic and axiomatic fashion, i.e. via Cauchy sequences or Dedekind cuts, or as the collection of axioms characterizing exactly (up to isomorphism) the set of real numbers as the complete and totally ordered Archimedean field. Actually, the above notions of the real numbers are abstract and do not have a constructive grounding. Definition of Cauchy sequences, and equivalence classes of these sequences explicitly use the actual infinity. The same is for Dedekind cuts, where the set of rational numbers is used as actual infinity. Although there is no direct constructive grounding for these abstract notions, there are so called intuitions on which they are based. A rigorous approach to express these very intuition in a constructive way is proposed. It is based on the concept of the adjacency relation that seems to be a missing primitive concept in type theory. The approach corresponds to the intuitionistic view of Continuum proposed by Brouwer. The famous and controversial Brouwer Continuity Theorem is discussed on the basis of different principle than the Axiom of Continuity.

연구 동기 및 목표

• 실수의 표준 정의가 실제 무한성에 기반하여 구축적 기초가 부족한 데 대응하기 위해.
• 유형 이론에서 연속체의 직접적 형식화를 가능하게 하는 데 필요한 인접성 개념이 누락되어 있음을 규명하기 위해.
• 브라우어의 견해와 일치하는 직관주의적 연속체에 대한 엄밀한 기초를 마련하기 위해.
• 연속성 공리를 제외한 원리로 브라우어의 연속성 정리를 재유도하기 위해.
• 코시 수열이나 딜레르트 컷과 같은 추상적이고 비구축적 구성 방식을 더 직관적이고 구축적인 프레임워크로 대체하기 위해.

제안 방법

• 연속체 위의 점들 사이의 인접성 관계를 원시 관계로 도입하여, 집합론적 구성 방식을 대체한다.
• 유형 이론의 프레임워크를 개발하여 연속체가 유리수로부터 유도되는 것이 아니라 원시적으로 취급됨을 보장한다.
• 인접성을 기반으로 한 에프실론-델타나 극한 기반 정의가 아닌, 직관주의 논리를 사용하여 함수의 연속성을 형식화한다.
• 연속성 공리를 새로운 인접성 기반 기본 원리로 대체하여, 브라우어의 연속성 정리를 재해석한다.
• 유리수의 무한 집합이나 동치류와 같은 실제 무한성을 참조하지 않는 연속체의 모델을 구성한다.
• 인접성을 통해 직관적 연속성 개념과 형식적 유형 이론적 구조 사이의 대응 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수를 실제 무한성이나 집합론적 구성에 의존하지 않고 어떻게 구축적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 유형 이론에서 직관주의적 연속체의 직접적 형식화를 가능하게 하는 데 누락된 원시 개념은 무엇인가?
• RQ3 연속성 공리를 사용하지 않고도 브라우어의 연속성 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 인접성 개념은 연속체에 대해 더 직관적이고 구축적인 기초를 어떻게 제공하는가?
• RQ5 이 접근 방식은 고전적 또는 직관주의적 집합론적 실수 정의와 어떤 방식으로 다를까?

주요 결과

• 인접성이 유형 이론에서 누락된 원시 개념으로 규명되었으며, 연속체의 구축적 기초에 필수적이다.
• 논문은 고전적 실수 정의(예: 코시 수열, 딜레르트 컷)를 원시 유형 이론적 구성으로 성공적으로 대체하였다.
• 브라우어의 연속성 정리는 연속성 공리와는 다른 원리를 사용하여 재유도되었으며, 직관주의 원칙과 일치한다.
• 유리수의 무한 집합과 같은 실제 무한성을 피하기 위해 인접성 관계에 기반하여 연속체를 근거로 하였다.
• 직접적인 기하학적 및 위상적 직관에 기반하여, 연속체에 대한 구축적이고 직관주의적으로 타당한 기초가 확립되었다.
• 논리적으로 엄밀하면서도 브라우어의 원래 철학적 견해와 일치하는 연속성의 새로운 시각을 제공한다.