[논문 리뷰] Continuum Limits of the 1D Discrete Time Quantum Walk

Michael Manighalam, Mark Kon|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 이산 시간 양자 산책(DTQW)의 연속 근사에 대한 형식적 프레임워크를 수립하며, 비자명한 근사가 가능하려면 특정한 코인 연산이 필요하다는 것을 증명한다. 동시에 공간과 시간의 연속 근사를 취할 경우 질량이 없는 디랙 방정식을 도출하며, DTQW의 연속 시간 근사에서는 임의의 호환 가능한 코인에 대해 표준 연속 시간 양자 산책(CTQW)이 복원됨을 보여주어 이산적이고 연속적인 양자 역학 간의 엄밀한 다리를 구축한다.

ABSTRACT

The discrete time quantum walk (DTQW) is a universal quantum computational model. Significant relationships between discrete and corresponding continuous quantum systems have been studied since the work of Pauli and Feynman. This work continues the study of relationships between discrete quantum models and their ostensive continuum counterparts by developing a formal transition between discrete and continuous quantum systems through a formal framework for continuum limits of the DTQW. Under this framework, we prove two constructive theorems concerning which internal discrete transitions ("coins") admit nontrivial continuum limits. We additionally prove that the continuous space limit of the continuous time limit of the DTQW can only yield massless states which obey the Dirac equation. Finally, we demonstrate that the continuous time limit of the DTQW can be identified with the canonical continuous time quantum walk (CTQW) when the coin is allowed to transition through the continuous limit process.

연구 동기 및 목표

• 1D 이산 시간 양자 산책(DTQW)의 연속 근사를 다루는 일반적인 형식적 프레임워크를 수립하기 위해.
• DTQW 모델에서 비자명한 연속 근사를 허용하는 내부 코인 연산이 무엇인지 규명하기 위해.
• 공간과 시간의 연속 근사를 순차적 또는 동시적으로 취했을 때 발생하는 역학을 조사하기 위해.
• DTQW와 표준 연속 시간 양자 산책(CTQW) 간의 관계를 연속 시간 근사에서 명확히 하기 위해.
• 이산 양자 산책 역학이 연속 근사에서 디랙 방정식과 어떻게 엄밀하게 연결되는지 규명하기 위해.

제안 방법

• 이동자 $S$와 코인 연산자 $C$를 사용하여 DTQW의 진화를 단위 연산자 시퀀스로 형식화: $\Psi(x,t+\Delta t) = S C \Psi(x,t)$.
• 시간 진화를 운동량 공간에서 분석하기 위해 이산 푸리에 변환을 사용하고, 분산 관계를 유도하기 위해.
• $\Delta t$와 $\Delta x$에 대한 점근 전개를 적용하여 연속 근사에서 편미분방정식(PDE)을 유도하기 위해.
• 푸리에 도메인에서 효과적 해밀토니안의 고유값 분해를 활용하여 근사된 역학을 식별하기 위해.
• 연속 시간 근사에서 시간 진화 방정식을 도입하고, 위상 변환을 통해 CTQW와 연관지기 위해.
• 공간과 시간의 연속 근사를 동시에 취함($\Delta t, \Delta x \to 0$)으로써 고정된 코인을 가진 상태에서 디랙 유형 방정식을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DTQW의 내부 코인 연산 중에서 어떤 것이 비자명한 연속 근사를 허용하는가?
• RQ2 공간과 시간을 모두 연속적으로 다룰 경우 DTQW에서 어떤 역학적 방정식이 도출되는가?
• RQ3 DTQW의 연속 시간 근사는 임의의 코인에 대해 표준 CTQW로 식별될 수 있는가?
• RQ4 동시 공간-시간 연속 근사에서 도출된 디랙 유사 방정식의 성격은 무엇인가?
• RQ5 DTQW의 연속 시간 근사 해와 CTQW의 해 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 비자명한 연속 근사를 허용하는 것은 특정한 코인 연산—특정 대칭성과 매개변수 제약 조건을 만족하는 것—뿐이다.
• 공간과 시간의 동시에 연속 근사를 취할 경우, 초기 코인에 관계없이 일정한 스텝 크기 스케일링 조건이 유지되면 질량이 없는 디랙 방정식이 도출된다.
• 연속 시간 근사의 연속 공간 근사에서의 결과로도 질량이 없는 디랙 방정식이 도출되며, 이는 순차적 근사 간의 일관성을 확인한다.
• DTQW의 연속 시간 근사는 코인이 연속 시간으로의 부드러운 전이를 허용하는 한 임의의 코인에 대해 표준 CTQW로 정확히 매핑될 수 있으며, 이는 직접적인 역학적 동치성을 증명한다.
• 근사된 역학은 다음의 디랙 유형 PDE로 기술된다: $i\partial_t \Psi = (i\hat{A}\partial_x + \hat{B})\Psi$, 여기서 $\hat{A}$와 $\hat{B}$는 코인 및 이동 연산자로부터 유도된다.
• 근사된 해밀토니안의 고유모드는 위상 변환 하에 CTQW 형태로 축소되는 시간 진화 방정식을 만족하며, 이는 동치성을 증명한다.