[논문 리뷰] Continuum Model for Nanoscale Multiphase Flows

Alexandre M. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 21.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비국소 표면장력 항을 분자의 힘 유사 함수의 적분을 통해 포함한 비국소 연속체 모델을 제안한다. 이는 곡률에 따라 변하는 표면장력과 계면에서의 압력 강하를 정확히 기록할 수 있게 하며, 더 큰 척도에서는 영-라플라스 법칙을 복원하고, 분자 척도(≤10 nm)에서 메조스케일 계면 물리학을 해결한다. 분석적 해와 SPH 시뮬레이션을 통해 캐필라리 웨이브 이론 및 곡률에 따라 변하는 표면장력 경향과 일치함을 검증하였다.

ABSTRACT

We propose a nonlocal model for surface tension. This model, in combination with the Landau-Lifshitz-Navier-Stokes equations, describes mesoscale features of the multiphase flow, including the static (pressure) tensor and curvature dependence of surface tension. The nonlocal model is obtained in the form of an integral of a molecular-force-like function added into the momentum conservation equation. We present an analytical steady-state solution for fluid pressure at the fluid-fluid interface and numerical Smoothed Particle Hydrodynamics solutions that reveal the mesoscopic features of the proposed model.

연구 동기 및 목표

• 고전적 영-라플라스 모델이 해결하지 못하는 나노스케일 계면 물리학, 예를 들어 곡률에 따라 변하는 표면장력과 유체 계면에서의 압력 강하를 기록하는 연속체 모델을 개발하기 위해.
• 고전적 영-라플라스 법칙이 분자 척도(≤10 nm)에서 실패하는 문제를 해결하기 위해, 곡률 반경이 감소함에 따라 표면장력이 감소하는 현상을 반영하기 위해.
• 모olecul기구 상호작용에서 유도된 비국소 효과를 운동량 보존 방정식에 비국소 적분 항을 사용하여 통합함으로써, 전체 분자역학을 수행하지 않고도 메조스케일 특성을 회복할 수 있도록 하기 위해.
• 분석적 해와 스무드드 파티클 유체역학(SPH) 시뮬레이션을 기반으로 모델을 검증하여, 계면에서의 변동과 정적 응력 텐서에 대해 검증하기 위해.
• 모델이 열적 운동에 의해 유도되는 캐필라리 웨이브 스펙트럼과 레이일리 불안정성 임계값을 정확히 재현함으로써, 캐필라리 웨이브 이론과의 일관성을 확인하기 위해.

제안 방법

• 모델은 랑두-리프시츠-나비에-스토크스(LLNS) 방정식을 수정하여 국소 표면력 대신 비국소 적분 항을 도입한다: $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\int_{\Omega} s(\mathbf{x},\mathbf{y}) f_{\varepsilon}(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|) \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} d\mathbf{y}$, 여기서 $f_{\varepsilon}$ 는 짧은 거리에서는 음수, 긴 거리에서는 양수 값을 갖는 힘 형상 함수이다.
• 힘의 강도 $s(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 는 분자 상호작용에서 유도되며, 비국소 항이 계면에서 분자력의 대칭성이 깨지는 것을 정확히 기록하도록 보장한다.
• 유체-유체 계면을 가로질러 압력 프로파일에 대한 반분석적 정적 해를 유도하여, 비선형 곡률 의존성과 계면 근처에서의 이방성 정적 응력 텐서를 확인한다.
• 스무드드 파티클 유체역학(SPH) 시뮬레이션을 사용하여 수정된 LLNS 방정식을 수치적으로 해석하며, 확률적 응력 텐서 $\mathbf{s}_l = \gamma_l \boldsymbol{\xi}$ 를 포함한다. 이는 변동-소산 정리에 따라 만족된다.
• 표면장력 $\sigma(R)$ 는 응력 텐서의 차이 $T_N(r) - T_T(r)$ 에서 계산되며, $\sigma(R) = \int_0^\infty [T_N(r) - T_T(r)] dr$ 를 통해 곡률에 따라 변하는 경향과 직접 비교할 수 있다.
• 캐필라리 웨이브 스펙트럼은 SPH 시뮬레이션에서 $\langle \hat{\eta}(\mathbf{q})^2 \rangle$ 를 계산하고, 중력 및 무중력 조건에서 캐필라리 웨이브 이론(CWT)의 예측과 비교함으로써 분석된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 모델이 실패하는 나노스케일 계면에서 비국소 연속체 모델이 곡률에 따라 변하는 표면장력을 정확히 재현할 수 있는가?
• RQ2 제안된 비국소 표면장력 모델은 특히 계면 근처에서 계면에서의 정적 응력 텐서와 압력 프로파일에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 모델이 캐필라리 웨이브 스펙트럼을 포함한 열적 운동에 의해 유도되는 계면의 변동을 얼마나 잘 기록하는가? 이는 캐필라리 웨이브 이론과 일치하는가?
• RQ4 중력 하에서 레이일리-타일러 불안정성에 대해 모델은 안정성을 유지하는가? 그리고 불안정성의 임계 중력 임계값을 재현할 수 있는가?
• RQ5 큰 곡률 반경에서는 매크로스케일 영-라플라스 법칙을 회복하면서도, 작은 척도에서 나노스케일 물리학을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 낮아지는 방울 반경 $R$ 에 따라 표면장력 $\sigma(R)$ 이 감소하는 것을 예측하며, 이는 $R < 2h$ 이며 $R \leq 10$ nm 인 경우 실험 및 분자역학 관측과 일치한다.
• 반경 $R = 4.0$ 인 경우, 정규화된 표면장력 $\sigma(R)/\sigma_0$ 는 매크로스케일 값 $\sigma_0 = 2.0$ 에서 $R$ 이 감소함에 따라 감소함을 확인하여 곡률 의존성을 확인한다.
• 반분석적 해는 계면 근처에서 이방성 정적 응력 텐서(비영인 $T_\tau$) 를 드러내며, 계면에서 멀어질수록 등방성 행동을 보임을 확인하여 메조스케일 물리학과 일치한다.
• SPH 시뮬레이션은 캐필라리 웨이브 이론과 뛰어난 일치를 보였다: 중력 및 무중력 조건에서 $|\mathbf{q}| \leq 2\pi/(5h)$ 범위 내에서 $\langle \hat{\eta}(\mathbf{q})^2 \rangle$ 가 이론적 예측과 일치한다.
• 모델은 중력 $g$ 가 임계값 $\sigma_0 q_0^2 / (\rho_\beta - \rho_\alpha)$ 를 초과할 경우 레이일리-타일러 불안정성의 시작을 정확히 예측하며, 이 임계값 이하에서는 안정한 계면, 초과 시에는 불안정한 성장이 관찰된다.
• 비국소 모델은 큰 곡률 반경에서 영-라플라스 법칙을 성공적으로 복원하여 나노스케일과 매크로스케일 행동 간의 척도 브리징을 입증한다.