[논문 리뷰] Contraction and incremental stability of switched Carathéodory systems using multiple norms

Wenlian Lu, Mario di Bernardo|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 21.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다양한 벡터 노름에 의해 유도된 다중 행렬 측도를 사용하여 스위치 코타레우르 시스템에서의 증분 지수적 점근적 안정성(δ-EAS)을 분석하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 서로 다른 노름 간의 거래 계수를 활용하고, 안정된 모드와 함께 비안정 모드가 공존할 수 있도록 하는 충분 조건을 도출함으로써, 개별 모드가 비수축성일지라도 수축성 및 동기화가 가능하게 한다. 이는 스위치 선형 시스템과 정기적 스위칭 신호를 갖는 네트워크 동기화 예제를 통해 양적 수렴 한계와 함께 입증되었다.

ABSTRACT

In this paper, incremental exponential asymptotic stability of a class of switched Carathéodory nonlinear systems is studied based on the novel concept of measure of switched matrices via multiple norms and the transaction coefficients between these norms. This model is rather general and includes the case of staircase switching signals as a special case. Sufficient conditions are derived for incremental stability allowing for the system to be incrementally exponentially asymptotically stable even if some of its modes are unstable in some time periods. Numerical examples on switched linear systems switching periodically and on the synchronization of switched networks of nonlinear systems are used to illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 단일 공통 거리 척도를 사용하는 것 대신 다중 노름을 활용하여 수축 이론을 스위치 코타레우르 시스템으로 확장한다.
• 모든 시스템 모드에 대해 단일 행렬 측도를 사용하는 기존 방법의 한계를 해결한다.
• 일부 시스템 모드가 시간 간격 동안 비안정할 경우 δ-EAS를 위한 충분 조건을 도출한다.
• 노름별로 특화된 행렬 측도를 통해 각 모드에 대해 서로 다른 리아푸노프 함수를 사용할 수 있도록 한다.
• 이 프레임워크가 스위치 네트워크와 정기적 스위칭 시스템에서의 동기화에 효과적으로 적용될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 각 시스템 모드가 고유한 벡터 노름과 연결된 다중 노름을 통한 새로운 행렬 측도 개념을 도입한다.
• 다양한 행렬 측도 간의 관계를 정량화하기 위해 노름 간의 거래 계수를 정의한다.
• 시간 평균 행렬 측도 및 스위칭 지속 시간/스위칭 횟수 항을 기반으로 δ-EAS를 위한 충분 조건을 유도한다.
• 변분 방정식과 리아푸노프 유형 분석을 사용하여 동기화 다변량의 점근적 안정성을 증명한다.
• 스위치 선형 시스템과 정기적 스위칭 신호를 갖는 쿠아 회로 네트워크에 이 프레임워크를 적용한다.
• 가중 1-노름과 유클리드 노름을 사용하여 혼합-노름 리아푸노프 함수를 구성하고 수렴 속도의 한계를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개별 모드가 특정 시간 간격 동안 비안정할 경우, 스위치 코타레우르 시스템에서도 증분 안정성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 각각 고유한 노름에 의해 유도된 다수의 행렬 측도가 어떻게 조합되어 전체 시스템의 수축성을 평가할 수 있는가?
• RQ3 다양한 노름을 각 모드에 적용할 경우, 어떤 조건이 스위치 시스템의 증분 지수적 점근적 안정성을 유지하게 하는가?
• RQ4 스위칭 빈도와 지속 시간은 다중 노름 분석 하에서 전체 시스템의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크는 스위칭 구조를 갖는 비선형 시스템 네트워크에서의 동기화를 달성하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 시간 평균 행렬 측도 조건 (27)이 성립하면, 일부 모드가 비수축성일지라도 시스템은 여전히 δ-EAS를 달성한다.
• 쿠아 회로 네트워크 예제에서 스위칭 주기 T > 13.08일 경우 동기화가 보장되며, 시뮬레이션에서는 T = 14를 사용하였다.
• 이 방법은 각 모드에 대해 서로 다른 노름을 사용할 수 있게 하여 단일 노름 접근보다 더 유연하고 보수적이지 않은 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 수치 결과는 10노드 네트워크에서 제안된 조건 하에 모든 노드가 동기화되며, 오차가 시간이 지남에 따라 감소하는 것으로 확인되었다 (그림 4 참조).
• 유도된 조건 (27)은 변분 방정식의 노름 감쇠를 검증함으로써 동기화 다변량의 점근적 안정성을 보장한다.