[논문 리뷰] Contragredients of irreducible representations in theta correspondences

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 08.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 비아르키메데스 국소체 위에서의 고전군—예를 들어 GL(n), U(n), O(n), 또는 Sp(2n)—의 기약 적응 가능한 스무스 표현 π에 대해, π의 대조 표현이 그 군의 자기동형사상에 의한 π의 티브로 동형임을 확립한다. 주요 기여는 이러한 알려진 결과를 로컬 스털라 대응에서 나타나는 이러한 군의 이중 덮개로 확장하여, 이 경우에도 유사한 대조 표현-티브 동형이 성립함을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Abstract. Let G be a classical group GL(n), U(n), O(n) or Sp(2n), over a nonarchimedean local field of characteristic zero. Let π be an irreducible admissible smooth representation of G. It is well known that the contragredient of π is isomorphic to a twist of π by an automorphism of G. We prove a similar result for double covers of G which occur in the study of local theta correspondences. 1. The results Fix a non-archimedean local field k of characteristic zero. Let A be a k-algebra and τ be a k-algebra involution of A so that ⎨ (k × k, the nontrivial automophism), (A, τ) = (a quadratic field extension of k, the nontrivial automophism), or (k, the trivial automophism). Let ǫ = ±1 and let E be an ǫ-hermitian A-module, namely it is a free A-module of finite rank, equipped with a non-degenerate k-bilinear map satisfying 〈 , 〉E: E × E → A 〈u, v〉E = ǫ〈v, u 〉 τ E, 〈au, v〉E = a〈u, v〉E, a ∈ A, u, v ∈ E. Denote by U(E) the group of all A-module automorphisms of E which preserve the form 〈 , 〉E. Depending on A and ǫ, it is a general linear group, unitary group, orthogonal group or symplectic group. Following [MVW87, Proposition 4.I.2], we extend U(E) to a larger group, which is denoted by Ŭ(E), and consisting of pairs (g, δ) ∈ GLk(E) × {±1} such that either δ = 1 and g ∈ U(E),

연구 동기 및 목표

• 기본 군의 경우에 알려진 표현의 대조 표현과 그 군 자기동형사상에 의한 티브 간의 동형관계를 고전군의 이중 덮개로 일반화하는 것.
• 이중 덮개가 자연스럽게 나타나는 로컬 스털라 대응의 맥락에서 대조 표현의 행동을 조사하는 것.
• 선형 군의 경우와 유사한 구조적 성질을 메타플레틱 군(이중 덮개)의 표현에 대해 확립하는 것.
• 스털라 대응 프레임워크 내에서 이중성과 이중성 유지 성질을 연구하기 위한 기초 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 특성 0인 비아르키메데스 국소체 k를 고정하고, k-대수 A와 그에 대한 k-대수의 반전 τ를 고려하여, k, k의 이차 확장, 또는 k × k의 경우를 포함하는 사례를 도출한다.
• A-값을 갖는 비퇴화된 A-형식을 만족하고 〈u,v〉 = ǫ〈v,u〉τ 및 A-선형성을 갖는 유한 차원 ǫ-헤르미트 A-모듈러스 E를 정의한다.
• ǫ-헤르미트 형식을 보존하는 A-선형 자기동형사상의 군으로서 단위군 U(E)를 구성한다.
• U(E)를 더 큰 군 Ŭ(E)로 확장하여, GLk(E) × {±1}의 쌍 (g, δ)로 구성되며, δ = 1 이고 g ∈ U(E), 또는 δ = −1 이고 g 가 형식과 왜곡된 호환성을 갖는다.
• Ŭ(E)의 구조를 이용하여 고전군의 이중 덮개의 표현을 분석한다.
• [MVW87]의 결과를 적용하여 선형 군에서의 이중성 성질을 그들의 메타플레틱 덮개로 이행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 군의 경우와 유사하게, 고전군의 이중 덮개 위의 기약 적응 가능한 스무스 표현의 대조 표현이 그 군의 자기동형사상에 의한 티브와 동형일 수 있는가?
• RQ2 ǫ-헤르미트 모듈러스와 그 단위군의 구조가 스털라 대응 맥락에서 이중 덮개의 설정으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 확장된 군 Ŭ(E)는 메타플레틱 군 위의 표현의 이중성 실현에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 선형 군에서 이중 덮개 군으로의 전이 시 스털라 대응에서 표현의 이중성 성질이 유지되는가?
• RQ5 군의 자기동형사상은 메타플레틱 설정에서 표현에 어떻게 작용하여 대조 표현 동형을 실현하는가?

주요 결과

• 고전군의 이중 덮개 위의 기약 적응 가능한 스무스 표현 π의 대조 표현은 그 군의 자기동형사상에 의한 π의 티브와 동형이다.
• 이중 덮개의 비자명성에도 불구하고, 대조 표현의 동형 유형은 선형 경우와 동일한 구조적 메커니즘에 의해 유지된다.
• 확장된 군 Ŭ(E)는 메타플레틱 군 위의 표현과 그 이중성 성질을 분석하는 데 자연스러운 프레임워크를 제공한다.
• 이러한 결과는 스털라 대응에서 나타나는 이중 덮개의 맥락으로 선형 군에 대한 고전적 이중성 결과를 일반화한다.
• 증명는 ǫ-헤르미트 모듈러스의 구조와 형식이 자기동형군과의 호환성에 기반하며, [MVW87]의 알려진 결과를 확장한다.
• 이 프레임워크는 대조 표현 동형이 스털라 대응과 호환되며, 메타플레틱 설정에서 이중성을 유지함을 보장한다.