[논문 리뷰] Contraherent cosheaves on schemes

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 스킴 위에서 코터시온 모듈의 일반화로서, 코그로벌라이제이션된 코컨트라헤런트 코셰이브를 도입하며, 유한성 조건을 만족하는 스킴에서 쿼어지-코herent 셰이브와 코컨트라헤런트 코셰이브 사이의 유도된 코-코프라 대응을 수립한다. 주요 기여는 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$ 및 델리뉴의 $f^+$를 이 이중성 프레임워크를 통해 명시적으로 구성한 것이다.

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of contraadjusted or cotorsion modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme, with the colocalization functors $\operatorname{Hom}_R(S,{-})$ used for the gluing (where $S$ is the ring of functions on an affine open subscheme in $\operatorname{Spec}R$). The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence over a scheme in two forms. The "naive" one is an equivalence of the conventional derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, valid over any quasi-compact semi-separated scheme. The more sophisticated version is an equivalence between the coderived category of quasi-coherent sheaves and the contraderived category of contraherent cosheaves over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of the Lipman-Neeman extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f\colon Y o X$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to the Hartshorne-Deligne extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. We also construct a derived semico-semicontra correspondence, mounting the "naive" version along the fibers on top of the one depending on a dualizing complex on the base of a flat fibration. Noncommutative analogues of Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes are briefly discussed in the appendices.

연구 동기 및 목표

• 코컨트라헤런트 코셰이브를 통해 교환 법칙 위에서 코터시온 모듈을 스킴 위의 셰이브 이론적 대상으로 일반화한다.
• 유한성 조건을 만족하는 스킴에서 쿼어지-코herent 셰이브와 코컨트라헤런트 코셰이브 사이의 유도된 코-코프라 대응을 수립한다.
• 코-코프라 대응을 이용하여 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$의 새로운 구성법을 제시한다.
• 코터시온-그로텐디크 이중성의 일반화를 위해, 이중성 복합체를 가진 노에테리안 스킴에서 코컨트라헤런트 코셰이브를 활용하여 이론을 확장한다.
• 반세미분리된 노에테리안 스택, 아핀 포멀 스킴, 인도-아핀 인도-스킴으로 이론을 일반화한다.

제안 방법

• 환과 코링 위의 콘트라모듈 이론을 사용하여, 코컨트라헤런트 코셰이브를 코터시온 모듈의 셰이브 이론적 일반화로 정의한다.
• 코컨트라헤런트 코셰이브의 정확한 범주를 유한한 곱의 정확한 함자와 함께 구성한다.
• 적절한 호모로지 차원을 갖춘 복합체의 유도된 범주를 통해 코-코프라 대응을 적용한다.
• 유도된 범주에서 호모토피 프로젝티브 및 인젝티브 분해를 사용하여 직접 및 역상 함자의 유도된 함자를 정의한다.
• 플랫 코링과 이중성 복합체의 구조를 활용하여 노에테리안 경우의 동치를 수립한다.
• 무한한 호모로지 대수학의 결과, 특히 분해와 Ext의 소멸 조건을 활용하여 코터시온성 및 플랫성 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공변환 위에서 코터시온 모듈을 코셰이브의 구조를 통해 스킴 위의 셰이브로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 코컨트라헤런트 코셰이브의 범주가 충분한 프로젝티브를 갖도록 보장하는가?
• RQ3 유한성 조건을 만족하는 반세미분리된 스킴에서 유도된 코-코프라 대응을 수립할 수 있으며, 특별한 역상 함자에 대해 어떤 결과를 낳는가?
• RQ4 코-코프라 대응은 어떤 방식으로 이중성 복합체를 가진 스킴에 대해 세르–그로텐디크 이중성을 일반화하는가?
• RQ5 노에테리안 스킴의 맥락에서 코컨트라헤런트 코셰이브와 특별한 역상 함자 $f^!$ 및 $f^+$ 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유한성 조건을 만족하는 반세미분리된 스킴 위에서 코컨트라헤런트 코셰이브의 범주는 무한한 곱의 정확한 함자를 갖는 퀠렌 정확한 범주이다.
• 유한성 조건을 만족하는 반세미분리된 스킴 위에서, 유도된 코-코프라 대응은 쿼어지-코herent 셰이브와 코컨트라헤런트 코셰이브의 유도된 범주 사이의 동치를 제공한다.
• 코-코프라 대응을 통해 반세미분리된 스킴 사이의 사상에 대해 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$를 명시적으로 구성할 수 있다.
• 이중성 복합체를 가진 노에테리안 스킴의 경우, 코-코프라 대응은 확장된 형태의 공변 세르–그로텐디크 이중성을 제공하며 델리뉴의 $f^+$ 함자를 실현한다.
• 유계 크룰 차원 $D$를 가진 노에테리안 환 ${rak R}$ 위의 임의의 플랫 ${rak R}$-콘트라모듈의 프로젝티브 차원은 최대 $D$ 이하이며, 임의의 ${rak R}$-콘트라모듈의 코터시온 차원 역시 $D$ 이하로 유계이다.
• 임의의 ${rak R}$-콘트라모듈은 코터시온 몫을 가지는 플랫 임베딩을 가지며, 코터시온 핵을 가지는 플랫 ${rak R}$-콘트라모듈로부터의 전성 사상도 존재함을 보여, 강력한 호모로지 제어를 확립한다.