[논문 리뷰] Contributions to the Problems of Recognizing and Coloring Gammoids

Immanuel Albrecht|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 게모이드 이론을 발전시키며, 미니처와 쌍대성에 대해 닫혀 있는 부분군을 정의하기 위해 새로운 복잡도 척도를 도입하고, 거듭제곱급수를 사용하지 않고 방향 그래프 표현으로부터 R-행렬 표현을 계산하는 순수 조합론적 방법을 제시하며, 모든 라티스 경로 매트로이드가 3색 가능하다는 것을 증명한다. 또한 α-위반 기준을 활용한 게모이드 식별을 위한 종합적인 알고리즘과 게모이드를 위한 새로운 방향화 절차를 제공한다.

ABSTRACT

This work provides a thorough introduction to the field of gammoids and presents new results that are considered helpful for solving the problems of recognizing and coloring gammoids. Matroids are set systems that generalize the concept of linear independence between sets of rows of a matrix over a field. Gammoids are those matroids that may be represented by directed graphs where the corresponding independence is modeled as the existence of certain families of pair-wise vertex disjoint paths. The seminal papers in gammoid theory have been written by J.H. Mason [2], A.W. Ingleton and M.J. Piff [1]. Natural applications of gammoids can be found within the realms of connectivity of both directed and undirected graphs. In this work, we introduce our concept of the complexity of a gammoid, which may be used to define subclasses of the class of gammoids that inherit the most notable properties of the class of gammoids: being closed under minors, duality, and direct sums. Furthermore, we provide a comprehensive method for deciding whether a given matroid is a gammoid. We give a new procedure for obtaining an R-matrix, that represents a gammoid given by the means of a directed graph, which avoids using power series. We present the first purely combinatorial way of obtaining orientations of gammoids. We prove that every lattice path matroid is 3-colorable. In Chapter 1 we give a brief introduction to matroid theory: we present axiomatizations of matroids most relevant to this work, the concepts of minors and duality as well as representability over fields and properties of extensions. The same chapter also contains a brief introduction to the theory of transversals, including the Theorems of Hall, Rado, Ore, and Perfect, and an introduction to transversal matroids. Also, we provide a short introduction to directed graphs, we introduce the concept of a routing in a directed graph and we close the chapter with Menger’s Theorem and its consequences. In Chapter 2 we define gammoids as matroids that may be obtained from routings in directed graphs. We explore the properties of their directed graph representations and along that we define our notion of a duality respecting representation which correlates the duality-like notion of opposite directed graphs with the notion of duality with respect to gammoids. Furthermore, we introduce our three complexity measures for gammoids that yield subclasses of gammoids which are closed under minors and duality. We present Mason’s α-criterion for strict gammoids, and we examine the properties of strict gammoids and transversal matroids. We analyze the problem of recognizing gammoids, we develop the notion of an α-violation, and we present our best approach for deciding instances of the recognition problem. At the end of Chapter 2, we present our method for determining an R-matrix representing a gammoid from a given representation in terms of a directed graph. In Chapter 3 we shortly introduce oriented matroids and their associated concept of colorings. We show that all orientations of lattice path matroids have 3-colorings. Then we introduce our concept of a heavy arc orientation of a gammoid that yields a purely combinatorial way to obtain representable orientations of gammoids. In Chapter 4 we summarize our new results and give an overview of new and old open problems. [1] A.W. Ingleton and M.J. Piff. Gammoids and transversal matroids. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 15(1):51–68, 1973. [2] J.H. Mason. On a class of matroids arising from paths in graphs. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1):55–74, 1972.

연구 동기 및 목표

• 게모이드에 대한 새로운 복잡도 척도를 개발하여, 미니처와 쌍대성에 대해 닫혀 있는 부분군을 정의한다.
• 거듭제곱급수를 사용하지 않고, 방향 그래프 표현으로부터 게모이드의 R-행렬 표현을 순수하게 조합론적으로 계산하는 방법을 제공한다.
• 주어진 매트로이드가 게모이드인지 여부를 결정하는 종합적인 의사결정 절차를 수립한다.
• 게모이드를 방향화하는 데 새로운 조합론적 방법을 제시한다.
• 모든 라티스 경로 매트로이드가 3색 가능하다는 것을 증명한다.

제안 방법

• 게모이드에 대해 세 가지 복잡도 척도를 도입하여, 미니처와 쌍대성에 대해 닫혀 있는 부분군을 유도한다.
• 거듭제곱급수를 사용하지 않고, 방향 그래프 표현으로부터 게모이드의 R-행렬 표현을 도출하는 새로운 절차를 개발한다.
• 대수적 또는 해석적 기법에 의존하지 않는 순수 조합론적 방법으로 게모이드를 방향화한다.
• 메이슨의 α-기준을 적용하여 엄격한 게모이드를 특성화하고 그 성질을 분석한다.
• 식별 알고리즘을 이끄는 데 α-위반 개념을 활용한다.
• 메이저의 정리를 활용하고 방향 그래프 내의 루팅 개념을 적용하여 게모이드 표현을 체계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게모이드의 복잡도를 어떻게 형식적으로 정의할 수 있으며, 이를 통해 미니처와 쌍대성에 대해 닫혀 있는 부분군을 생성할 수 있는가?
• RQ2 거듭제곱급수를 사용하지 않고, 방향 그래프 표현으로부터 게모이드의 R-행렬 표현을 조합론적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 매트로이드가 게모이드임을 보장하는 최소 조건의 집합은 무엇이며, 이를 알고리즘적으로 어떻게 테스트할 수 있는가?
• RQ4 대수적 또는 해석적 구성에 의존하지 않는 순수 조합론적 방법으로 게모이드를 방향화할 수 있는가?
• RQ5 모든 라티스 경로 매트로이드는 3색 가능하며, 이러한 성질을 가능하게 하는 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 라티스 경로 매트로이드가 3색 가능하다는 것이 증명되어, 이 중요한 게모이드 부분군의 강력한 구조적 성질이 입증된다.
• 거듭제곱급수를 사용하지 않고, 방향 그래프 표현으로부터 게모이드의 R-행렬 표현을 계산하는 새로운 조합론적 방법이 개발되었다.
• 게모이드에 대해 미니처와 쌍대성에 대해 닫혀 있는 부분군을 생성하는 복잡도 척도를 도입하여, 게모이드 가족의 더 세밀한 분류가 가능해졌다.
• α-위반 탐지를 기반으로 한, 주어진 매트로이드가 게모이드인지 여부를 결정하는 종합적인 알고리즘이 제시되었다.
• 대수적 또는 해석적 도구에 의존하지 않는 순수 조합론적 절차가 게모이드 방향화를 위해 새로 도입되어, 독립적인 구성 방법을 제공한다.
• 쌍대성에 대한 표현을 체계화하여, 게모이드 내의 쌍대성과 반대 방향 그래프 사이의 관계를 명확히 하였다.