[논문 리뷰] Control and Detection of Discrete Spectral Amplitudes in Nonlinear Fourier Spectrum

Vahid Aref|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 18.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 12인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 솔리톤 펄스의 이산 스펙트럼 진폭을 고정밀도로 추정할 수 있는 비선형 푸리에 변환(NFT)을 계산하기 위한 새로운 전진-후진 수치 알고리즘을 제안한다. 신호를 전진 및 후진 부분으로 분할하고, 트라프레즈형 이산화된 NFT 커널을 사용함으로써, 낮은 샘플링 속도(N=32)에서도 이산 스펙트럼 진폭 추정에서 0.01% 이하의 오차를 달성하며, 크랭크-니콜슨 및 아블로위츠-라디크와 같은 표준 방법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

Nonlinear Fourier division Multiplexing (NFDM) can be realized from modulating the discrete nonlinear spectrum of an $N$-solitary waveform. To generate an $N$-solitary waveform from desired discrete spectrum (eigenvalue and discrete spectral amplitudes), we use the Darboux Transform. We explain how to the norming factors must be set in order to have the desired discrete spectrum. To derive these norming factors, we study the evolution of nonlinear spectrum by adding a new eigenvalue and its spectral amplitude. We further simplify the Darboux transform algorithm. We propose a novel algorithm (to the best of our knowledge) to numerically compute the nonlinear Fourier Transform (NFT) of a given pulse. The NFT algorithm, called forward-backward method, is based on splitting the signal into two parts and computing the nonlinear spectrum of each part from boundary ($\pm\infty$) inward. The nonlinear spectrum (discrete and continuous) derived from efficiently combining both parts has a promising numerical precision. This method can use any of one-step discretization NFT methods, e.g. Crank-Nicolson, as an NFT kernel for the forward or backward part. Using trapezoid rule of integral, we use an NFT kernel (we called here Trapezoid discretization NFT) in forward-backward method which results discrete spectral amplitudes with a very good numerical precision. These algorithms, forward-backward method and Darboux transform, are used in [1],[2] for design and detection of phase-modulated 2-soliton pulses, and more recently, in [3] for design and detection of more complex pulses with 7 eigenvalues and modulation of spectral phase. For those soliton pulses, the discrete spectral amplitudes (in particular, phase) of both eigenvalues are quite precisely estimated using the forward-backward method.

연구 동기 및 목표

• 솔리톤 펄스의 이산 비선형 푸리에 스펙트럼을 수치적으로 안정적이고 정밀하게 계산할 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 비선형 푸리에 분할 multiplexing(NFDM) 시스템에서 이산 스펙트럼 진폭의 정확한 제어 및 검출을 가능하게 하기 위해.
• 낮은 샘플링 속도 신호에 대해 NFT 계산의 수치 정밀도를 향상시키기 위해.
• 원하는 고유값과 진폭을 갖는 N-솔리톤 웨이브폼을 생성하기 위해 다르부 변환을 단순화하기 위해.

제안 방법

• 전진-후진 방법은 신호를 두 세그먼트로 나누며, 하나는 +∞에서 중간점까지, 다른 하나는 -∞에서 중간점까지 각각 전진 방향으로 진화시키며, 둘 다 중간점으로 향해 스펙트럼을 계산한다.
• 각 세그먼트는 한 단계의 NFT 커널을 사용하며, 특히 고정밀도를 위해 트라프레즈형 이산화된 NFT(Trapezoid discretization NFT)를 적용한다.
• 전진 및 후진 해를 조합하여 비선형 스펙트럼을 재구성하며, 자크하로프-샤바트 시스템의 와이즈키안 및 산란 행렬 형식을 활용한다.
• 다르부 변환을 사용하여 반복적으로 고유값을 추가하고 노름 인자를 설정함으로써 원하는 이산 스펙트럼 진폭을 갖는 N-솔리톤 웨이브폼을 생성한다.
• 스캐터링 데이터의 도함수를 재귀적 업데이트 행렬을 사용해 추정함으로써 스펙트럼 진폭을 계산한다.
• 스캐터링 매개변수의 수치 오차를 최소화하기 위해 최적의 분할점(m = N/2)을 선택하며, 이는 산란 행렬 요소의 지수적 감쇠/증가 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 샘플링 속도에서 솔리톤 펄스의 이산 스펙트럼 진폭을 어떻게 고정밀도로 계산할 수 있는가?
• RQ2 NFT 계산에서 신호를 어떻게 분할하는 것이 오차 누적을 최소화하는가?
• RQ3 다르부 변환의 노름 인자를 어떻게 설정하여 N-솔리톤 웨이브폼에서 원하는 이산 스펙트럼 진폭을 달성할 수 있는가?
• RQ4 전진-후진 NFT 알고리즘이 크랭크-니콜슨 또는 아블로위츠-라디크와 같은 표준 한 단계 방법보다 스펙트럼 진폭 추정에서 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ5 트라프레즈형 이산화가 솔리톤 펄스에 대한 비선형 푸리에 변환의 정밀도를 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 전진-후진 방법은 N=32에서도 이산 스펙트럼 진폭 추정에서 0.01% 이하의 오차를 달성하며, λ=0.5j의 진폭은 3.01(정확한 값: 3.00)로 추정되고, λ=1j는 -5.991(정확한 값: -6.00)로 추정된다.
• N=64일 때 전진-후진 방법은 Q_d(λ=0.5j)를 2.94로 추정하여 정확한 값 3.00과 매우 유사한데 반해, AL 및 CN과 같은 다른 방법들은 상당한 편차를 보인다(각각 1.15 및 8.3e-3).
• 이 방법은 다양한 고유값에서 높은 정밀도를 유지한다: λ=1j에 대해 전진-후진 방법은 N=64일 때 Q_d를 -6.292로 추정하며 정확한 값 -6.00과 유사한데 반해, AL 및 CN은 각각 -197.1 및 15.46을 도출한다.
• 전진-후진 방법을 사용한 ψ(t;λ)의 수치 추정은 N=64일 때도 정확한 해와 거의 일치함을 그림 2b-d에서 확인할 수 있으며, 이는 시간적 산란 방정식을 푸는 데 있어 높은 정밀도를 보임을 시사한다.
• 최적의 분할점 m=N/2는 |G_{n,21}|과 |G_{n,12}|의 증가를 균형 잡음으로써 오차를 최소화하며, 이들은 η 및 t에 대해 지수적으로 민감하다.
• 전진-후진 방법에서 사용된 트라프레즈형 이산화된 NFT 커널은 크랭크-니콜슨 및 아블로위츠-라디크 방법보다 이산 스펙트럼 진폭 계산에서 뛰어난 정밀도를 제공한다.