[논문 리뷰] Control Barrier Functions for Systems with High Relative Degree

Wei Xiao, Călin Belta|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 12.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 19인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 상대 차수 고려 시스템을 위한 고차 제어 장벽 함수(HOCBFs)를 소개한다. 이는 기존의 지수 형태 대신 $\kappa$ 함수를 사용함으로써 이전 방법을 일반화한 것이다. 이 방법은 리아푸노프 유사 조건을 통해 다중 집합의 교차 영역의 전방 불변성을 보장하며, $\kappa$ 함수 선택을 통해 실시간 2차 프rogram 기반 제어의 타당성과 성능을 맞춤형으로 조정할 수 있다. 이는 적응형 크루즈 컨트롤 문제에서 검증되었다.

ABSTRACT

This paper extends control barrier functions (CBFs) to high order control barrier functions (HOCBFs) that can be used for high relative degree constraints. The proposed HOCBFs are more general than recently proposed (exponential) HOCBFs. We introduce high order barrier functions (HOBF), and show that their satisfaction of Lyapunov-like conditions implies the forward invariance of the intersection of a series of sets. We then introduce HOCBF, and show that any control input that satisfies the HOCBF constraints renders the intersection of a series of sets forward invariant. We formulate optimal control problems with constraints given by HOCBF and control Lyapunov functions (CLF) and analyze the influence of the choice of the class $\mathcal{K}$ functions used in the definition of the HOCBF on the size of the feasible control region. We also provide a promising method to address the conflict between HOCBF constraints and control limitations by penalizing the class $\mathcal{K}$ functions. We illustrate the proposed method on an adaptive cruise control problem.

연구 동기 및 목표

• 기존 제어 장벽 함수(CBFs)가 상대 차수 1 시스템에 국한되어 있다는 한계를 해결한다.
• 복잡한 동적 시스템에서 흔한 고상대 차수 제약 조건을 다룰 수 있도록 장벽 함수 이론을 확장한다.
• 기존의 지수 형태 HOCBFs보다 더 유연한 고차 제어 장벽 함수(HOCBFs)의 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 2차 프로그램(QPs)을 통한 실시간 제어 합성 방법을 제공하며, 이는 HOCBFs와 제어 리아푸노프 함수(CLFs)를 모두 통합한다.
• 브레이킹 제한과 같은 물리적 제어 제약 조건과의 갈등을 해결하기 위해 벌점이 부여된 $\kappa$ 함수를 제공한다.

제안 방법

• 리아푸노프 유사 조건을 만족시키는 것으로 다중 집합의 교차 영역의 전방 불변성을 보장하는 고차 장벽 함수(HOBFs)를 정의한다. 이는 장벽 함수의 일반화로 간주된다.
• 다중 제약 조건의 교차로 정의된 집합의 전방 불변성을 보장하는 제어 설계 도구로 HOCBFs를 도입한다.
• HOCBFs와 CLFs를 2차 프로그램(QP)의 제약 조건으로 사용하여 최적 제어 문제를 수립함으로써 실시간 피드백 제어를 가능하게 한다.
• HOCBFs를 파arameter화하기 위해 $\kappa$ 함수를 사용하며, 이는 장벽 함수의 행동을 유연하게 조정하고 가용 제어 영역에 영향을 미친다.
• HOCBF 제약 조건과 제어 입력 제한(예: 브레이킹 제한) 간의 갈등을 해결하기 위해 $\kappa$ 함수에 벌점 항을 적용한다.
• 안전성 및 속도 제약 조건이 있는 적응형 크루즈 컨트롤(ACC) 문제에서 방법을 검증하였으며, 제곱근, 선형, 제곱형 $\kappa$ 함수를 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 제어 장벽 함수를 고상대 차수 제약 조건을 가진 시스템에 일반화할 수 있는가?
• RQ2 다양한 $\kappa$ 함수(예: 제곱근, 선형, 제곱)가 HOCBF 기반 제어 합성에서 가용 제어 영역의 크기에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 실제로 HOCBF 제약 조건과 물리적 제어 제약 조건(예: 브레이킹 제한) 간의 갈등을 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 HOCBFs는 실시간 2차 프로그램에서 제어 리아푸노프 함수(CLFs)와 효과적으로 통합될 수 있는가?
• RQ5 실제 적용 사례인 적응형 크루즈 컨트롤에서 $\kappa$ 함수의 선택이 시스템 성능 및 수렴에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 선택된 $\kappa$ 함수의 영향이 가용 제어 영역에 크게 작용한다: 제곱근 함수는 과잉 제약을 초래하여 시스템 성능을 저하시킨다.
• 제곱근 함수의 $p=1$일 경우 ACC 문제에서 과잉 제약이 발생하여 차량 $i$가 목표 속도 $v_d$에 도달하지 못한다.
• 제곱근 함수의 $p$를 2로 증가시키면 성능이 향상되어 차량이 목표 속도에 도달하고 전방 불변성을 유지할 수 있다.
• 선형 함수의 $p=1$과 제곱 함수의 $p=0.02$일 경우 HOCBF 제약 조건이 브레이킹 제한과 갈등이 없으며, 시스템은 안정성을 유지한다.
• $t=20s$ 시점에서 제곱 함수의 HOCBF 값은 높은 수준($12.9729$)을 유지하지만, 제곱근 함수는 거의 0에 수렴($2.8964\times10^{-7}$)하여 수렴 속도가 느리다는 것을 나타낸다.
• 모든 $\kappa$ 함수에 대해 $C_1(t)\cap C_2(t)$ 집합의 전방 불변성이 유지되었으며, 시뮬레이션 결과 $b(\bm{x}_i(t))\geq0$ 및 $\psi_1(\bm{x}_i(t))\geq0$에 의해 확인되었다.