[논문 리뷰] Control Barrier Functions With Unmodeled Dynamics Using Integral Quadratic Constraints

Peter Seiler, Mrdjan Janković외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 24.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제어 입력의 지연 또는 레이트와 같은 모델링되지 않은 동역학을 가진 시스템에 대해 안전성을 보장하기 위해 $\alpha$-적분 제곱 제약 조건(IQC)을 CBF 프레임워크에 통합한 강건한 제어 장벽 기능(CBF) 설계 방법을 제안한다. 이 방법은 시간 도메인에서의 소산 불등식과 수정된 Grönwall-Bellman 보조정리를 사용하여, 입력 불확실성에도 불구하고 시스템이 안전 영역 내에 머무르도록 보장하며, 0.13초 지연이 있는 2차원 점질량 시스템을 통해 검증된다.

ABSTRACT

This paper presents a control design method that achieves safety for systems with unmodeled dynamics at the plant input. The proposed method combines control barrier functions (CBFs) and integral quadratic constraints (IQCs). Simplified, low-order models are often used in the design of the controller. Parasitic, unmodeled dynamics (e.g. actuator dynamics, time delays, etc) can lead to safety violations. The proposed method bounds the input-output behavior of these unmodeled dynamics in the time-domain using an alpha-IQC. The alpha-IQC is then incorporated into the CBF constraint to ensure safety. The approach is demonstrated with a simple example.

연구 동기 및 목표

• 모델링되지 않은 동역학(예: 액추에이터 레이트 또는 시간 지연)으로 인한 제어 시스템의 안전성 위반 문제를 해결하기 위해.
• 모델링되지 않은 동역학의 전체 상태 관측이 불필요한 조건에서 제어 장벽 기능(CBF)을 입력 불확실성에 대응하도록 확장하기 위해.
• 시간 도메인에서 모델링되지 않은 동역학의 입력-출력 행동을 제약하는 데 $\alpha$-IQCs를 통합한 강건한 CBF 조건을 개발하기 위해.
• 제한된, 알려지지 않은 지연 또는 동역학 조건 하에서 폐루프 시스템의 전진 완전성과 안전성을 확보하기 위해.
• 2차원 점질량 시스템과 0.13초 지연을 가진 수치 예제를 통해 제안 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 제어 장벽 기능(CBF)과 $\alpha$-적분 제곱 제약 조건(IQC)을 결합하여, 모델링되지 않은 동역학을 시간 도메인에서 유한한 외란으로 모델링한다.
• 알 수 없는 지연 $\tau \in [0, \bar{\tau}]$에 대해, 외란 $\Delta(s) = e^{-s\tau} - 1$의 주파수 도메인에서의 상한을 구하고, $\bar{\tau} = 0.13$ s로 설정하여 상한 필터 $\tilde{F}(s)$를 유도한다.
• $\alpha$-IQC는 상한 필터의 주파수 응답을 이동시켜 구성된다: $F(s) = \tilde{F}(s + \alpha/2)$, 여기서 $\alpha = 5$는 CBF 파라미터이다.
• 수정된 Grönwall-Bellman 보조정리를 사용하여 강건한 CBF 조건을 유도하며, 제약 조건 $\dot{\tilde{h}} - \lambda I \geq -\alpha \tilde{h}$ 하에서 $\tilde{h}(t) \geq 0$이면 $h(t) \geq 0$임을 보장한다.
• 이 조건을 만족시키면서 노미널 제어기에서의 편차를 최소화하는 2차 프rogram을 통해 제어 입력을 계산한다. 여기서 라그랑주 승수 $\lambda$를 사용한다.
• 결과적으로 얻어진 제어기는 상태와 필터 상태 $x_F$에 기반하여 노미널 제어 입력을 조정하는 안전성 필터로 구현되며, 실제 지연이 알려지지 않은 상황에서도 안전성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 장벽 기능은 시간 지연 또는 액추에이터 동역학과 같은 모델링되지 않은 동역학에 대해 어떻게 강력하게 만들 수 있는가?
• RQ2 $\alpha$-IQCs를 사용하여 모델링되지 않은 동역학의 입력-출력 행동을 시간 도메인에서 제약할 수 있는가?
• RQ3 알 수 없는 그러나 유한한 지연은 CBF 기반 제어기의 성능과 실현 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $\alpha$-IQCs의 통합은 결과 제어기의 보수성과 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 시간 도메인에서의 소산 불등식과 수정된 Grönwall-Bellman 추론을 사용하여 강건한 CBF 조건을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 강건한 CBF 제어기에서 $\lambda_x = \lambda_y = 0.1$일 때, 양방향 제어 입력에 0.13초 지연이 존재함에도 불구하고 점질량이 안전하지 않은 영역에 진입하는 것을 성공적으로 방지한다.
• 강건한 제어기는 노미널 CBF보다 더 보수적인 경로를 취하여, 모델링되지 않은 동역학으로 인한 안전성 위반의 위험을 감소시킨다.
• 강건한 제어기의 제어 입력은 노미널 CBF에 비해 진동이 감소하여, 더 향상된 강건성과 매끄러운 동작을 나타낸다.
• 라그랑주 승수 $\lambda$의 값이 작아질수록 진동은 감소하지만 보수성이 증가하고, $\lambda$ 값이 클수록 실현 가능성은 악화되고 위험도 증가한다.
• $\alpha$-IQC 기반 접근법은 $\tilde{h}(0) \geq 0$이면 모든 $t \geq 0$에 대해 $\tilde{h}(t) \geq 0$임을 보장하며, 이는 $h(t) \geq 0$을 보장함으로써 안전성을 확보한다.
• 이 방법은 모델링되지 않은 동역학의 내부 상태 측정이 필요 없기 때문에 실용적 구현에 적합하다.