[논문 리뷰] Control Contraction Metrics, Robust Control and Observer Duality

Ian R. Manchester, Jean-Jacques Slotine|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 21.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 강건한 비선형 제어 및 관측기 설계를 위한 제어 수축 메트릭스(CCMs)를 소개한다. 이를 통해 전역적으로 안정화하는 제어기와 축소 차수 관측기를 충족하는 볼록 최적화 기반 합성 기법을 가능하게 한다. 제어 합성으로 확장된 수축 이론을 통해 안정화와 상태 추정 간의 이중성 관계를 제공하며, 컴act 집합에서 제곱합(SOS) 프로그래밍을 통해 증명 가능한 지수 안정성과 L²-이득 성능 보장을 제공한다.

ABSTRACT

This paper addresses the problems of stabilization, robust control, and observer design for nonlinear systems. We build upon recently a proposed method based on contraction theory and convex optimization, extending the class of systems to which it is applicable. We prove converse results for mechanical systems and feedback-linearizable systems. Next we consider robust control, and give a simple construction of a controller guaranteeing an L2-gain condition, and discuss connections to nonlinear H-infinity control. Finally, we discuss a "duality" result between nonlinear stabilization problems and observer construction, in the process constructing globally stable reduced-order observers for a class of nonlinear systems.

연구 동기 및 목표

• 제어에 대해 선형이 아닌 제어 매트릭스를 갖는 비선형 시스템의 더 넓은 범주로 수축 기반 제어 합성 기법을 확장한다.
• 기계 시스템과 피드백 선형화 가능한 시스템에 대해 역설 정리(converse theorems)를 수립하여, 안정화 가능 조건 하에서 제어 수축 메트릭스의 존재를 증명한다.
• 비선형 H∞ 제어에 유사한 L²-이득 성능 보장을 갖는 강건 제어 프레임워크를 개발한다.
• 비선형 안정화와 관측기 설계 간의 공식적인 이중성 관계를 정립하여 전역적으로 안정된 축소 차수 관측기 구축을 가능하게 한다.
• 모어-그리터 압축기 모델에 대해 볼록 최적화와 시뮬레이션 검증을 통해 제안된 방법을 효과적으로 적용한다.

제안 방법

• 이 방법은 제어 작용 하에서 미분 수렴을 보장하는 상태에 의존하는 리만 메트릭으로서 제어 수축 메트릭스(CCMs)를 수식화한다.
• 볼록 최적화를 통해 제곱합(SOS) 프로그래밍을 사용하여 CCM과 관련된 제어 법칙을 해결함으로써 전역 지수 안정성을 보장한다.
• 강건 제어를 위해, L²-이득을 컴 pact 집합에서 유한하게 제한하기 위해 슬랙 변수와 라그랑주 승수를 포함한 행렬 부등식 조건을 도입한다.
• 비선형 좌표 변환을 사용하여 관측기 오차 동역학을 수축 프레임워크로 변환함으로써 제어와 관측기 설계 간의 이중성을 수립한다.
• 관측기는 상태 공간의 비선형 변환을 통해 구성되며, 관측기 오차 메트릭은 CCM에서 유도되어 지수 수렴을 보장한다.
• 계산 구현은 YALMIP과 MOSEK를 사용하여 CCM, 제어기 이득, 관측기 이득에 대한 볼록 SOS 제약 조건을 컴 pact 도메인에서 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어에 대해 선형이 아닌 제어 매트릭스를 갖는 시스템으로 제어 수축 메트릭스를 확장할 수 있는가, 선형 제어에 국한되지 않고?
• RQ2 모든 안정화 가능한 기계 시스템과 피드백 선형화 가능한 시스템에 대해 제어 수축 메트릭스가 존재하는가, 역설 정리에 따르면?
• RQ3 CCM을 사용하여 특정 L²-이득 성능을 보장하는 강건 제어 법칙을 체계적으로 설계할 수 있는가?
• RQ4 비선형 안정화와 관측기 설계 간에 공식적인 이중성 관계가 존재하는가, 이를 통해 전역적으로 안정된 축소 차수 관측기를 구축할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 모어-그리터 압축기 모델과 같은 실제 비선형 시스템에 대해 효과적으로 적용 가능하며, 성능 보장이 가능한가?

주요 결과

• 기계 시스템에 대해 역설 정리가 증명되었으며, 시스템이 안정화 가능하다면 제어 수축 메트릭스가 존재함을 보였다.
• 피드백 선형화 가능한 시스템의 경우, 안정화 가능 조건 하에서 제어 수축 메트릭스의 존재가 보장되어, 방법의 적용 가능 범위가 확장됨을 보였다.
• |ϕ| < 1 인 경우 L²-이득 한계 α = 0.49를 달성하였으며, |ϕ| < 40 인 경우 α = 6.1로 증가하여 컴 pact 집합에서 확장 가능한 강건성을 입증하였다.
• 모어-그리터 모델에 대해 단순한 선형 관측기 이득 조건(M₂₂ = 1, M₂₁ = -2)을 사용하여 전역적으로 안정된 축소 차수 관측기를 성공적으로 구성하였다.
• 시뮬레이션 결과, 0.2 표준편차의 측정 노이즈가 존재하더라도 관측기 추정치가 빠르게 수렴하는 것으로 확인되어 강건성을 입증하였다.
• 계산 복잡도는 낮으며, 관측기 설계는 컴 pact 도메인에서 해석적으로 풀 수 있는 볼록 불등식으로 축소된다.