[논문 리뷰] Control issues and linear projection constraints on the control and on the controlled trajectory

Sylvain Ervedoza|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추상 선형 제어 시스템에서 제어와 피드백 경로에 선형 투영 제약 조건을 부과할 수 있는 조건을 설정한다. 만약 새로운 고유 연속성 성질이 이차 시스템에 대해 성립한다면, 근사적, 정확적, 영 제어 가능성이 달성 가능하다는 것을 증명한다. 이 성질은 포물형 및 쌍곡형 PDE를 포함한 다양한 설정에서 유효하다.

ABSTRACT

The goal of this article is to discuss controllability properties for an abstract linear system of the form $y' = Ay + Bu$ under some additional linear projection constraints on the control $u$ or / and on the controlled trajectory $y$. In particular, we discuss the possibility of imposing the linear projections of the controlled trajectory and of the control, in the context of approximate controllability, exact controllability and null-controllability. As it turns out, in all these settings, for being able to impose linear projection constraints on the trajectory and on the control, we will strongly rely on a unique continuation property for the adjoint system which, to our knowledge, has not been identified so far, and which does not seem classical. We shall therefore provide several instances in which this unique continuation property can be checked.

연구 동기 및 목표

• 제어 입력과 시스템 경로에 모두 선형 투영 제약 조건이 부과될 경우 근사적, 정확적, 영 제어 가능성이 달성 가능한지 조사한다.
• 그러한 제약 조건이 부과된 제어 가능성이 가능해지기 위한 최소한의 구조적 조건—특히 이차 시스템에 대한 새로운 고유 연속성 성질—을 규명한다.
• 제어와 경로가 함수 공간 내에서 정해진 투영을 만족해야 하는 설정으로 고전적 제어 가능 이론을 확장한다.
• 특히 열 방정식과 파동 방정식과 같은 PDE 맥락에서 새로운 고유 연속성 성질이 성립할 수 있는 검증 가능한 조건을 제공한다.
• 모델 매개변수 변화에 민감하지 않거나 제어 집합이 유계인 실용적 응용을 위한 기초를 마련하기 위해, 투영 제약 조건이 있는 제어의 비용과 실현 가능성에 대해 분석한다.

제안 방법

• Hilbert 공간에서의 추상 선형 시스템 $ y' = Ay + Bu $ 의 제어 문제를 설정하며, 제어 $ u $ 와 경로 $ y $ 에 대해 닫힌 부분공간 $ \mathscr{G} \subset L^2(0,T;U) $ 과 $ \mathscr{W} \subset L^2(0,T;H) $ 에 대한 정사 투영을 통한 제약 조건을 도입한다.
• 이차 시스템에 대한 새로운 고유 연속성 성질을 도입한다: $ z' + A^*z = w $ 의 해 $ z $ 가 $ (0,T) $ 에서 $ B^*z = g $ 를 만족하면, $ z_T = 0 $, $ g = 0 $, $ w = 0 $ 이다. 이 성질은 제약 조건이 있는 제어 가능성을 확보하는 데 핵심적이다.
• 대칭성 원리와 함수해석학 기법을 적용하여 제약 조건이 있는 제어 가능 문제를 이차 시스템에 관련된 최적화 문제의 해법 가능성으로 환원한다.
• 변분 방법을 사용하여 제약 조건을 정확히 만족하면서 상태의 근사적, 정확적, 또는 영 제어 가능성을 달성하는 제어를 구성한다.
• 기존의 Carleman 추정과 스펙트럼 방법을 사용하여, 시간에 의존하는 잠재력이 있는 열 방정식과 파동 방정식과 같은 구체적인 PDE 모델에서 고유 연속성 성질을 검증한다.
• 비유계 제어 연산자로의 확장을 고려하며, Banach 공간과 볼록 제어 제약 조건으로의 일반화 가능성을 제안하고 향후 연구 방향을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 제어 시스템에서 제어와 경로에 모두 선형 투영 제약 조건이 부과될 경우, 어떤 조건에서 근사적 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 이차 시스템에 대한 새로운 고유 연속성 성질이 제약 조건이 있는 제어 가능성을 어떻게 가능하게 하는지, 그리고 실용적으로 어떻게 검증할 수 있는가?
• RQ3 제어와 경로가 각각 특정 부분공간 $ \mathscr{G} $ 와 $ \mathscr{W} $ 에 투영되어야 할 경우, 정확적 또는 영 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ4 제어의 $ \mathscr{G} $ 와 $ \mathscr{W} $ 에 대한 투영 비용은 어떻게 변화하며, 이를 시스템 매개변수로 정량화할 수 있는가?
• RQ5 제어 공간이 지수 함수가 아닌 함수들에 의해 생성될 경우, 모멘트 기반 방법이 제약 조건이 있는 제어 가능 문제를 해결하는 데 어떻게 응용될 수 있는가?

주요 결과

• 이차 시스템에 대한 새로운 고유 연속성 성질이 성립하고 $ \mathscr{W} $ 가 유한 차원일 경우, 제어와 경로에 모두 투영 제약 조건이 있는 근사적 제어 가능성이 가능하다.
• 제약 조건이 있는 제어 가능성을 위한 핵심 조건은 이차 시스템에 대한 고유 연속성 성질이다: $ B^*z = g $ 가 $ (0,T) $ 에서 성립하고 $ z(T) = z_T $ 이면, $ z_T = 0 $, $ g = 0 $, $ w = 0 $ 이다. 이는 제약 조건을 만족하는 제어의 존재를 보장한다.
• 이 성질은 시간에 의존하는 잠재력이 있는 열 방정식과 적절한 기하학적 및 스펙트럼 조건을 만족하는 파동 방정식에 대해 검증되었다.
• 제어 연산자가 비유계일 경우 $ B $ 가 적합한 경우, 주요 정리의 타당성이 유지되며 이에 대한 확장이 가능하다.
• 제어에 대한 제약 조건은 임의의 닫힌 부분공간 $ \mathscr{G} $ 에도 적용 가능하며, 지수 함수의 생성공간과 같은 유한 차원 공간도 포함된다.
• 논문은 모멘트 기반 제어 방법과 비용 정량화에 관련된 열린 문제를 규명하며, 비지수 함수로 생성된 제어 부분공간에 대해 향후 연구의 유망한 방향을 제시한다.