[논문 리뷰] Control of accuracy on Taylor-collocation method to solve the weakly regular Volterra integral equations of the first kind by using the CESTAC method

Samad Noeiaghdam, Denis Sidorov외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 24.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 38인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 제1종 약한 정규성의 볼테라 적분방정식에 대한 타일러-결합 방법에 대한 새로운 정확도 제어 프레임워크를 제안한다. 기존의 부동소수점 산술(FPA) 대신 CESTAC 방법과 CADNA 라이브러리를 활용한 확률적 산술(SA)을 도입함으로써, 반복 계산의 정지 기준으로 연속된 근사값 간의 공통 유의 자릿수(NCSDs)를 사용한다. 이는 근사값과 정확한 해 사이의 NCSDs와 거의 동일하다는 것을 증명한다. 이로 인해 정확한 해나 조정 가능한 허용 오차 ε가 필요 없이 최적의 반복, 근사 및 오차 탐지가 가능해진다.

ABSTRACT

Finding the optimal parameters and functions of iterative methods is among the main problems of the Numerical Analysis. For this aim, a technique of the stochastic arithmetic (SA) is used to control of accuracy on Taylor-collocation method for solving first kind weakly regular integral equations (IEs). Thus, the CESTAC (Controle et Estimation Stochastique des Arrondis de Calculs) method is applied and instead of usual mathematical softwares the CADNA (Control of Accuracy and Debugging for Numerical Applications) library is used. Also, the convergence theorem of presented method is illustrated. In order to apply the CESTAC method we will prove a theorem that it will be our licence to use the new termination criterion instead of traditional absolute error. By using this theorem we can show that number of common significant digits (NCSDs) between two successive approximations are almost equal to NCSDs between exact and numerical solution. Finally, some examples are solved by using the Taylor-collocation method based on the CESTAC method. Several tables of numerical solutions based on the both arithmetics are presented. Comparison between number of iterations are demonstrated by using the floating point arithmetic (FPA) for different values of $\varepsilon$.

연구 동기 및 목표

• 제1종 볼테라 적분방정식의 수치적 해법에서 최적의 파라미터와 정지 기준을 선택하는 데 발생하는 핵심 과제를 해결하기 위해.
• 부동소수점 산술(FPA)의 한계, 즉 정확한 해가 알려져 있지 않은 상황에서의 수렴 기준에 대한 허용 오차 ε의 임의성 문제를 해결하기 위해.
• 불연속적 커널을 가진 약한 정규성의 볼테라 적분방정식을 해결하기 위한 신뢰할 수 있고 자기검증 가능한 방법을 개발하기 위해.
• 연속된 근사값 간의 NCSDs가 근사값과 정확한 해 사이의 NCSDs와 거의 동일하다는 이론적 기반을 확립하기 위해.
• 수치적 예제를 통해 기존의 FPA 대비 CESTAC 방법의 우수성을 입증하고, 최적의 반복과 오차 탐지를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 조각별 연속적 커널을 가진 제1종 볼테라 적분방정식을 해결하기 위해 타일러-결합 방법을 적용한다.
• 기존의 부동소수점 산술(FPA) 대신 CESTAC 방법을 통한 확률적 산술(SA)을 사용하여 수치적 정확도를 제어한다.
• CADNA 라이브러리를 활용하여 확률적 산술를 구현하고 계산 과정에서의 수치적 불안정성을 탐지한다.
• 연속된 근사값 vₙ과 vₙ₋₁ 간의 공통 유의 자릿수(NCSDs)를 기반으로 새로운 수렴 기준을 도입한다.
• vₙ과 vₙ₋₁ 간의 NCSDs가 vₙ과 정확한 해 v 사이의 NCSDs와 거의 동일하다는 것을 증명하는 이론적 정리를 제시한다.
• 선형 및 비선형 예제에 대한 수치 실험을 통해 FPA와 CESTAC 기반 SA의 결과를 비교함으로써 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CESTAC 방법은 정확한 해가 알려져 있지 않은 상황에서도 타일러-결합 방법에 대한 신뢰할 수 있고 자기검증 가능한 정지 기준을 제공할 수 있는가?
• RQ2 연속된 근사값 간의 공통 유의 자릿수(NCSDs)는 근사값과 정확한 해 사이의 NCSDs와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 제1종 볼테라 적분방정식을 해결하는 데 있어 확률적 산술(SA)이 기존의 부동소수점 산술(FPA)보다 가지는 장점들은 무엇인가?
• RQ4 정확한 해가 알려져 있지 않은 상황에서 CESTAC 방법은 최적의 반복, 최적의 근사 및 최적의 오차를 탐지할 수 있는가?
• RQ5 다양한 허용 오차 값에 대해 제안된 방법은 FPA 기반 방법과 비교하여 수렴 속도와 정확도 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• CESTAC 방법은 정확한 해를 알지 못하는 상황에서도 최적의 반복과 최적의 근사를 정확하게 탐지할 수 있다.
• 연속된 근사값 vₙ과 vₙ₋₁ 간의 공통 유의 자릿수(NCSDs)가 근사값 vₙ과 정확한 해 v 사이의 NCSDs와 거의 동일하다는 것이 입증되었으며, 이는 새로운 정지 기준의 타당성을 뒷받침한다.
• 예제 4에서는 CESTAC 방법이 n=9에서 최적의 반복을 n=9에서 오차 3.2×10⁻³으로 식별했고, FPA는 ε=10⁻⁵로 설정했을 때 n=9에서 멈추지만 더 큰 ε 값에서는 최적성을 탐지하지 못했다.
• 예제 5에서는 CESTAC 방법이 n=9에서 최적의 수렴을 달성했고 오차는 2×10⁻⁶이었으며, FPA는 ε=10⁻⁵로 설정했을 때 n=6에서 멈추지만 최적의 정확도에 도달하지 못했다.
• CESTAC 기반 방법은 수치적 불안정성을 탐지하고 신뢰할 수 있는 오차 추정치를 제공한 반면, 고정된 ε를 사용하는 FPA 기반 방법은 ε의 값에 따라 결과가 일관되지 않았다.
• 제안된 방법은 허용 오차 ε에 영향을 받지 않으며 정확한 해가 필요 없어 실생활 응용에 더 강건하고 실용적이다.