[논문 리뷰] Control of Homodirectional and General Heterodirectional Linear Coupled Hyperbolic PDEs

Long Hu, Florent Di Meglio외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 PDE 백스탭핑을 사용하여 결합된 선형 초월 PDE의 경계 안정화 및 궤적 추적을 위한 일반적인 해법을 제시한다. 동방향(모든 PDE가 같은 방향으로 이동) 및 이방향(PDE가 반대 방향으로 이동) 시스템을 모두 다루며, 방정식의 수와 결합 계수의 수가 임의일 수 있다. 주요 기여는 유한 시간 안정화를 보장하는 볼테라 적분 변환 기반 설계로, 전체 상태 피드백 및 관측기 기반 출력 피드백을 통해 이루어지며, 순차적 유 bounds 방법을 통해 잘 정의됨이 증명된다.

ABSTRACT

Research on stabilization of coupled hyperbolic PDEs has been dominated by the focus on pairs of counter-convecting ("heterodirectional") transport PDEs with distributed local coupling and with controls at one or both boundaries. A recent extension allows stabilization using only one control for a system containing an arbitrary number of coupled transport PDEs that convect at different speeds against the direction of the PDE whose boundary is actuated. In this paper we present a solution to the fully general case, in which the number of PDEs in either direction is arbitrary, and where actuation is applied on only one boundary (to all the PDEs that convect downstream from that boundary). To solve this general problem, we solve, as a special case, the problem of control of coupled "homodirectional" hyperbolic linear PDEs, where multiple transport PDEs convect in the same direction with arbitrary local coupling. Our approach is based on PDE backstepping and yields solutions to stabilization, by both full-state and observer-based output feedback, trajectory planning, and trajectory tracking problems.

연구 동기 및 목표

• 임의의 수의 동방향 및 이방향 이동 수송 방정식을 포함하는 결합된 선형 초월 PDE를 안정화하는 오랜 동안 해결되지 않은 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 백스탭핑 방법을 하나의 제어되는 PDE의 경우를 초월하여, 같은 방향 또는 반대 방향으로 이동하는 다수의 PDE를 포함하는 시스템을 다룰 수 있도록 확장하기 위해.
• 이방향 시스템에 대해 유한 시간 내에 영으로 수렴하는 경계 피드백 법칙을 설계하고, 동방향 시스템에 대해 궤적 추적을 보장하기 위해.
• 임의의 결합과 다수의 PDE를 포함하는 일반적인 경우에서 핵심 적분 방정식의 잘 정의됨을 새로운 순차적 유 bounds 기법을 사용하여 확립하기 위해.

제안 방법

• 원래의 결합 초월 PDE 시스템을 계단형 구조를 가진 목표 시스템으로 변환하기 위해 PDE 백스탭핑 방법을 사용한다.
• 볼테라 적분 변환을 사용하여 원래 시스템을 목표 시스템으로 매핑함으로써, 안정화 및 추적 제어 설계를 가능하게 한다.
• 핵심 방정식은 새로운 순차적 유 bounds 기법을 사용한 반복 근사 방법을 통해 해결되며, 잘 정의됨이 증명된다.
• 특정 선택된 목표 시스템을 사용함으로써 고전적인 적분 변환을 적용할 수 있도록 설계되었다.
• 이 방법은 방향에 관계없이 임의의 결합 계수와 임의의 수의 PDE를 처리할 수 있다.
• 같은 백스탭핑 프레임워크를 사용하여 관측기 기반 출력 피드백을 구성함으로써, 경계 측정치로부터의 안정화가 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 경계에서의 단일 제어로, 서로 다른 방향(이방향) 또는 같은 방향(동방향)으로 이동하는 임의의 수의 결합 초월 PDE를 안정화할 수 있는가?
• RQ2 임의의 결합 계수와 다수의 PDE를 포함하는 일반적인 경우에서 핵심 적분 방정식의 잘 정의됨은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 이방향 및 동방향 일반 경우에서 안정화 및 궤적 추적을 가능하게 하는 목표 시스템의 구조는 어떠한가?
• RQ4 백스탭핑 변환은 하나의 제어되는 PDE의 경우를 초월하여, 같은 방향으로 이동하는 다수의 PDE에 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 핵심의 경계 값은 일시적인 성능을 어떻게 형상화하는가?

주요 결과

• 이 논문은 이방향 시스템에서 임의의 수의 PDE가 양 방향으로 이동하는 경우에도, 단일 경계 제어만으로도 모든 상태가 유한 시간 내에 영으로 수렴함을 입증한다.
• 동방향 시스템의 경우, 제어되지 않은 경계에서 주어진 참조 궤적을 정확히 추적할 수 있도록 경계 제어 법칙이 설계되었다.
• 핵심 시스템의 잘 정의됨은 새로운 순차적 유 bounds 기법을 통해 증명되었으며, 핵심 적분 방정식의 해가 존재하고 유일함을 보장한다.
• 백스탭핑 변환이 가역적임이 입증되었고, 이로 인해 닫힌 루프 시스템이 H² 노름에서 지수 안정성이 확보됨이 나타났다.
• 이 방법은 임의의 결합 계수에 대해 강건하며, 소규모 이득 조건이 필요하지 않다.
• 이 프레임워크는 전체 상태 피드백 및 관측기 기반 출력 피드백 제어를 모두 지원하여 실용적 구현이 가능해졌다.