[논문 리뷰] Control of large 1D networks of double integrator agents: role of heterogeneity and asymmetry on stability margin

He Hao, Prabir Barooah|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 03.

Traffic control and management참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이질적인 질량과 비대칭적인 속도 피드백을 갖는 1D 이중적분기계의 분산 제어를 조사한다. PDE 근사법을 사용하여, 이질성이 안정성 마진에 거의 영향을 주지 않지만, 속도 피드백 이득의 미미한 비대칭성은 안정성 마진의 감쇠률을 O(1/N²)에서 O(1/N)으로 향상시킨다. 또한 위치와 속도 피드백에 동일한 비대칭성을 도입할 경우 안정성 마진이 N에 대해 균일하게 유계가 되지만, 외부 교란에 대한 민감도가 증가하는 비용이 수반된다.

ABSTRACT

We consider the distributed control of a network of heterogeneous agents with double integrator dynamics to maintain a rigid formation in 1D Euclidean space. The control signal at a vehicle is allowed to use relative position and velocity with its two nearest neighbors. Most of the work on this problem, though extensive, has been limited to homogeneous networks, in which agents have identical masses and control gains, and symmetric control, in which information from front and back neighbors are weighted equally. We examine the effect of heterogeneity and asymmetry on the closed loop stability margin, which is measured by the real part of the least stable pole of the closed-loop system. By using a PDE (partial differential equation) approximation in the limit of large number of vehicles, we show that heterogeneity has little effect while asymmetry has a significant effect on the stability margin. When control is symmetric, the stability margin decays to 0 as $O(1/N^2)$, where $N$ is the number of agents, even when the agents are heterogeneous in their masses and control gains. In contrast, we show that arbitrarily small amount of asymmetry in the velocity feedback gains can improve the decay of the stability margin to $O(1/N)$. Poor design of such asymmetry makes the closed loop unstable for sufficiently large $N$. With equal amount of asymmetry in both position and velocity feedback gains, the closed loop is stable for arbitrary $N$ and the stability margin scaling trend can also be improved to $O(1/N)$, but the sensitivity to disturbance becomes worse. Effect of asymmetry in position feedback gains alone and unequal amount of asymmetry in position and velocity feedback are open problems. Numerical computations are provided to corroborate the analysis.

연구 동기 및 목표

• 크기 N이 큰 1D 이중적분기계 네트워크에서 기계의 이질성과 제어의 비대칭성이 안정성 마진에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 근접한 이웃의 상대적 위치와 속도를 이용한 분산 제어가 네트워크 크기 N이 증가함에 따라 시스템 안정성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 비대칭 피드백 이득이 대칭적이고 동질적인 경우 관찰되는 O(1/N²) 감쇠보다 더 나은 안정성 마진 스케일링을 가능하게 하는지 확인하는 것.
• 다양한 비대칭 구성에서 피드백 이득에 따른 안정성 마진와 교란 민감도 간의 상충 관계를 평가하는 것.

제안 방법

• 크기 N이 큰 1D 이중적분기계 네트워크의 폐루프 동역학을 기술하기 위해 편미분방정식(PDE) 근사를 사용한다.
• 대칭 및 비대칭 제어 법칙 하에서 안정성 마진을 대칭적이고 큰 N의 극한에서 폐루프 시스템의 가장 불안정한 극점의 실수부로 정의한다.
• 점근적 분석을 적용하여 대칭 및 비대칭 제어 법칙 하에서 안정성 마진의 스케일링 행동을 연구한다.
• 대칭 제어, 비대칭 속도 피드백, 위치 및 속도 피드백에 동일한 비대칭성을 도입한 경우의 안정성 마진 스케일링을 비교한다.
• MATLAB의 Control Systems Toolbox를 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 예측의 안정성 마진과 교란-오차 전달함수의 H∞ 노름 검증을 수행한다.
• 상태 벡터 ψ와 교란 입력 w를 갖는 연관된 상미분방정식의 집합으로 시스템을 모델링하고, 교란-오차 전달함수 G_we의 H∞ 노름을 계산하여 교란 민감도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기계의 질량과 제어 이득에서의 이질성이 크기 N이 큰 1D 이중적분기계 네트워크의 안정성 마진에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 속도 피드백 이득의 앞뒤 비대칭성이 네트워크 크기 N에 따른 안정성 마진 스케일링에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 위치 및 속도 피드백 이득에 동일한 비대칭성을 도입할 경우 안정성 마진이 N에 대해 균일하게 유계가 되는가? 이는 시스템 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 교란-오차 전달함수 G_we의 H∞ 노름은 대칭 제어, 비대칭 속도 피드백, 위치 및 속도 피드백에 동일한 비대칭성을 도입한 구성 간에 어떻게 변화하는가?
• RQ5 피드백 이득에 비대칭성을 도입할 경우 향상된 안정성 마진와 증가된 교란 민감도 사이의 상충 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 대칭 제어에서는 기계가 질량과 제어 이득에서 이질적일지라도 안정성 마진이 O(1/N²)로 감쇠된다.
• 속도 피드백 이득에 임의로 작은 비대칭성을 도입할 경우 안정성 마진 스케일링이 O(1/N)으로 향상되어 대규모 네트워크에서의 내구성 향상에 기여한다.
• 위치 및 속도 피드백 이득에 동일한 비대칭성을 도입할 경우 안정성 마진은 N과 무관하게 0에서 유계로 유지된다.
• 수치 결과는 비대칭 속도 피드백이 대칭 제어보다 더 낮은 H∞ 노름(교란 제거 성능 향상)을 제공하며, 이는 동일한 비대칭성을 위치 및 속도 피드백에 도입한 경우보다 우월하다는 것을 보여준다.
• 위치 및 속도 피드백에 동일한 비대칭성을 도입한 구성은 N이 증가함에 따라 H∞ 노름이 유계가 되지 않아 외부 교란에 매우 민감하다는 것을 시사한다.
• 따라서 비대칭 속도 피드백은 개선된 안정성 마진와 대칭 제어보다 향상된 교란 민감도를 동시에 확보하는 최적의 균형을 제공한다.