[논문 리뷰] Control of one and two homonuclear spins

Domenico D’Alessandro|ArXiv.org|2001. 06. 22.

Neural Networks and Reservoir Computing참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 SU(2) 및 SU(4)의 리 군 분해를 이용하여 한 개 및 두 개의 상호작용하는 동일핵 스핀-1/2 입자에 대해 명시적인 제어 법칙을 제시한다. 이는 임의의 원하는 최종 상태로의 이송을 가능하게 한다. 이 방법은 기하학적 제어와 임의의 제어 한계 및 최소 임계값을 초월하는 유연한 최종 시간을 가진 파arameterized 펄스 시퀀스를 사용하며, 명시적인 제어 파rameter 공식을 통해 완전한 제어 가능성을 보장한다.

ABSTRACT

We consider the problem of steering control for the systems of one spin 1/2 particle and two interacting homonuclear spin 1/2 particles in an electro-magnetic field. The describing models are bilinear systems whose state varies on the Lie group of special unitary matrices of dimensions two and four, respectively. By performing decompositions of Lie groups, taking into account the describing equations at hand, we derive control laws to steer the state of the system to any desired final configuration. Explicit formulas are given for the parameters involved in the control algorithms. Moreover, the proposed algorithms allow for arbitrary bounds on the magnitude of the controls and for some flexibility in the specification of the final time which must be greater than a given value but otherwise arbitrary.

연구 동기 및 목표

• 전자기장 내에서 상호작용하는 한 개 및 두 개의 상호작용하는 스핀-1/2 입자에 대한 명시적 제어 법칙을 개발하는 것.
• 특수(unitary) 군 SU(2) 및 SU(4) 내에서 임의의 원하는 최종 구성으로 상태를 이동시키는 것.
• 제어 진폭에 대한 임의의 한계와 최종 시간 선택의 탄력성을 가진 제어 알고리즘을 제공하는 것.
• 기하학적 제어 및 리 군 분해 기법을 사용하여 제어 파rameter의 명시적 공식을 유도하는 것.

제안 방법

• su(n) 리 대수에 속하는 해밀토니안을 갖는 슈뢰딩거 방정식으로 모델링된 이차형 제어 시스템을 사용한다.
• SU(2) 및 SU(4) 군의 분해 기법을 적용하여 제어 설계 문제를 다룰 수 있는 하位 문제로 환원한다.
• Euler 매개변수화 및 기반 기반 좌표 변환을 사용하여 제어 축을 파울리 행렬과 일치시킨다.
• 목표 행렬을 생성자들의 지수 함수의 곱으로 표현하여 조각별로 일정한 제어 법칙을 도출한다.
• 일부 제어 하에서 시스템 진동의 주기성을 이용하여 최종 시간을 최소 임계값을 초월해 임의로 연장한다.
• 목표 상태를 달성하기 위해 회전의 반복적 적용과 항등행렬 복구 프로토콜을 사용하여 제어 시퀀스를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 진폭에 제한이 있고 최종 시간이 탄력적인 조건에서, 한 개 및 두 개의 동일핵 스핀-1/2 시스템에 대해 완전한 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 SU(2) 및 SU(4)에 대해 리 군 분해를 사용하여 명시적 제어 법칙을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 기하학적 제어와 좌표 변환은 양자 스핀 시스템의 제어 설계를 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 임의의 장기 동안 항등행렬에 도달할 수 있도록 하여 시간에 유연한 상태 이송을 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ5 SU(2) 또는 SU(4) 내에서 임의의 최종 상태에 도달할 수 있도록 보장하는 명시적 파rameter 공식은 무엇인가?

주요 결과

• SU(2) 및 SU(4) 시스템에 대해 명시적 제어 법칙이 도출되어 군 내 임의의 최종 상태로의 이송이 가능하다.
• 제어 알고리즘이 제어 진폭에 대한 임의의 한계와 최소 임계값을 초월하는 최종 시간을 허용한다.
• 시스템 진동의 항등행렬 복구 주기성을 이용함으로써 시간에 탄력적인 프로토콜을 달성한다.
• 우리 시스템의 우변 불변성 덕분에 최종 시간은 최소 값 이상이면 사전에 설정할 수 있다.
• Euler 각도 및 파울리 행렬 분해 기반의 해석적 절차를 통해 제어 파rameter가 명시적으로 계산된다.
• SU(2)-기반 빌딩 블록과 대각형 위상 행렬을 조합하여 SU(4)에 대한 제어 시퀀스를 구성할 수 있다.