[논문 리뷰] Control theory for the Burgers equation: Agrachev-Sarychev approach

Armen Shirikyan|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 1차원 버거스 방정식에 아그라체프-사리체프 방법을 적용하여, 이중 차원 외부 힘을 통한 근사적 제어 가능성과 유한 차원 함수에 대한 정확한 제어 가능성 증명을 제시한다. 이 접근법은 볼록화 및 이완 기법을 통해 균일한 근사적 제어 가능성의 성립을 확립하며, L² 공간 내에서 함수와 궤적의 동시에 제어 가능성을 확장한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to a description of a general approach introduced by Agrachev and Sarychev in 2005 for studying some control problems for Navier-Stokes equations. The example of a 1D Burgers equation is used to illustrate the main ideas. We begin with a short discussion of the Cauchy problem and establish a continuity property for the resolving operator. We next turn to the property of approximate controllability and prove that it can be achieved by a two-dimensional external force. Finally, we investigate a stronger property, when the approximate controllability and the exact controllability of finite-dimensional functionals are proved simultaneously.

연구 동기 및 목표

• 1차원 버거스 방정식을 프로토타입으로 삼아 아그라체프-사리체프 접근법을 제어 이론에 적용하여 설명한다.
• 이중 차원 외부 제어 힘을 사용하여 버거스 방정식의 근사적 제어 가능성 확립.
• 유한 차원 함수의 동시에 정확한 제어 가능성과 궤적의 근사적 제어 가능성 증명.
• 제어 공간 내에서 이완 및 볼록화를 통한 균일한 제어 가능성으로의 방법 확장.
• 핵심 분석 도구와 비선형 PDE에의 응용에 중점을 두어, 이론의 자가 포함된 서술 제공.

제안 방법

• 버거스 방정식의 해결 연산자를 사용하여 이완 노름에서의 연속성과 잘 정의된 문제 성질을 분석한다.
• 제어 집합의 확장을 위해 볼록화 기법을 적용하고, 약한 위상에서의 근사적 제어 가능성 달성.
• 반복적인 제어 작용의 적용을 통해 조밀한 제어 집합을 생성하기 위해 포화 주장 활용.
• 합이 1이 되는 비음성 연속 계수를 사용하여 제어 함수의 조각별 상수 근사화.
• 무한 차원 제어 문제를 유한 차원 부분공간으로 줄이기 위해 유한 차원 근사(정리 4.1) 적용.
• 이미지가 부드러운 함수의 유한 차원 부분공간에 속하는 제어 매핑을 구성하여 목표 궤적을 균일하게 근사.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아그라체프-사리체프 방법을 사용하여 이중 차원 제어 힘을 가진 1차원 버거스 방정식에 대해 근사적 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 상태의 근사적 제어 가능성과 유한 차원 함수의 동시에 정확한 제어 가능성은 동시에 달성 가능한가?
• RQ3 제어 공간 내에서 이완 및 볼록화를 통해 균일한 근사적 제어 가능성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 약한 수렴 하에서 제어 가능성 증명에 있어 해결 연산자의 연속성이 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이론이 사전에 잘 정의된 문제 성질을 보장하지 않는 시스템으로도 이 방법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 버거스 방정식의 해결 연산자는 이완 노름에서 연속적이며, 제어의 약한 수렴 하에서 해의 안정성을 보장한다.
• 이중 차원 외부 힘을 사용하여 근사적 제어 가능성을 달성하였으며, 제어 공간은 유한 차원이다.
• L²의 컴act 부분집합 내의 임의의 초기 상태와 목표 상태에 대해, 유한 차원 부분공간 내의 제어를 사용하여 해를 목표에 임의로 가까이 유도할 수 있다.
• 함수의 값은 유지하면서 궤적의 근사적 제어를 달성하는 제어를 구성함으로써, 유한 차원 함수의 정확한 제어 가능성을 증명하였다.
• 이미지가 부드러운 함수의 유한 차원 부분공간에 속하는 연속적 제어 매핑을 통해 균일한 근사적 제어 가능성을 확립하였다.
• 모든 연속적 제어 매핑은 합이 1이 되는 비음성 계수를 가진 조각별 상수 제어로 근사 가능하며, 이는 실용적 구현을 가능하게 한다.