[논문 리뷰] Controllability and reachability of singular linear discrete time systems

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 03.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특이 선형 이산시간 시스템에서의 제어 가능성과 도달 가능성 분석을 위해 행렬 펜슬 접근법을 개발한다. Weierstrass 표준형을 사용하여 시스템을 유한 및 무한 고유구조 성분으로 분해한다. 주요 기여는 전환된 부분시스템의 질량 조건에 기반한 제어 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립함으로써, 영초기 조건과 비영초기 조건에서의 도달 가능한 집합을 명시적으로 기술할 수 있도록 하는 것이다. 이는 분수 차분 시스템과 경제학, 인구 역학, 물리학 등에서의 실용적 모델에 응용 가능하다.

ABSTRACT

The main objective of this article is to develop a matrix pencil approach for the study of the controllability and reachability of a class of linear singular discrete time systems. The description equation of a practical system may be established through selection of the proper state variables. Time domain analysis is the method of analyzing the system based on this description equation, through which we may gain a fair understanding of the system's structural features as well as its internal properties. Using time domain analysis, this article studies the fundamentals in system theory such as reachability and controllability.

연구 동기 및 목표

• 행렬 펜슬 이론를 활용하여 특이 선형 이산시간 시스템에서의 제어 가능성과 도달 가능성 분석을 위한 체계적인 프레임워크를 개발한다.
• 상태 행렬 F가 특이한 경우(det F = 0)에 해당하는 특이 시스템으로의 제어 가능성 기존 결과의 확장을 도모한다. 이는 표준 선형 시스템 이론이 다루지 못하는 영역이다.
• 영초기 조건에서의 도달 가능한 집합과 고정된 종단 조건에서의 도달 가능한 집합을 명시적으로 기술하며, 이는 시스템의 구조적 의존성까지 포함한다.
• Weierstrass 표준형에서 유도된 부분시스템의 질량 조건에 기반한 제어 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 결과를 분수 나블라 차분 방정식 및 경제학, 인구 역학, 물리학 등에서의 다른 차분 방정식 모델에 적용할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 비특이 변환 $P$ 및 $Q$를 사용하여 특이 시스템 $FX_{k+1} = GX_k + BV_k$를 Weierstrass 표준형으로 분해함으로써 블록 대각형의 구조를 얻는다.
• 시스템을 두 개의 분리된 부분시스템으로 전환한다: 유한 동역학 부분시스템 $Y^p_{k+1} = J_p Y^p_k + B_p V_k$ 와 충격 동역학 부분시스템 $H_q Y^q_{k+1} = Y^q_k + B_q V_k$.
• 명시적인 상태 응답 공식을 유도한다: $Y^p_k = J_p^k Y^p_0 + \sum_{i=0}^{k-1} J_p^{k-i-1} B_p V_i$ 와 $Y^q_k = -\sum_{i=0}^{q_*-1} H_q^i B_q V_{k+i}$ ($k \leq M$).
• 영초기 조건에서의 도달 가능한 집합을 변환된 좌표계에서 $B_p$ 및 $B_q$로 구성된 제어 가능성 행렬의 상(image)으로 정의한다.
• 입력-상태 맵핑을 나타내기 위해 행렬 $T = \text{diag}\left( [B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p], [B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q] \right)$ 를 사용한다.
• 행렬 $T$의 전체 행 질량을 통해 제어 가능성을 확립하며, 이를 바탕으로 필요 및 충분 조건을 도출한다: $\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ 및 $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 상태 행렬을 가진 특이 선형 이산시간 시스템에서의 제어 가능성에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 영초기 조건에서의 도달 가능한 집합은 시스템 매개변수와 입력 시퀀스의 관점에서 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 고정된 종단 상태가 있을 경우 도달 가능한 집합은 어떻게 의존하는가? 충격 동역학이 존재할 경우 그 구조적 형태는 어떠한가?
• RQ4 Weierstrass 표준형은 시스템의 유한 및 무한 고유구조 성분을 어떻게 분리하고 분석하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 유도된 조건들은 어떤 방식으로 분수 나블라 차분 방정식 시스템으로 확장되는가?

주요 결과

• 전체 시스템의 제어 가능성은 유한 및 무한 부분시스템의 공동 제어 가능성과 동치이며, 각 부분시스템의 제어 가능성 행렬의 질량이 해당 부분시스템의 차원과 같아야 한다는 조건을 만족한다.
• 영초기 조건에서의 도달 가능한 집합은 제어 가능성 행렬 $T$의 상(image)이며, 이는 입력 시퀀스를 $Y_k = TV$를 통해 도달 가능한 상태로 매핑한다.
• 고정된 종단 조건 $Y^q_M$에 대해 초기 도달 가능한 집합 $\Re(Y^q_M)$ 는 $M_{p1} \oplus \left\{ H_q^{M-k} Y^q_M - \sum_{i=0}^{M-k-1} H_q^i B_q V_{k+i} \right\} \cup \{ Y^q_M \}$ 로 주어지며, 향후 입력의 영향을 보여준다.
• 시간 $k$의 상태는 과거 입력과 초깃값 외에도 미래 입력과 종단 상태에 의존하며, 특히 $H_q$의 구조로 인해 $Y^q$ 부분시스템에서 두드러진다.
• 시스템은 $\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ 및 $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$ 인 경우에만 제어 가능하다. 이는 유한 및 무한 동역학 모두에 대한 완전한 제어를 보장한다.
• 예시를 통해 고정된 종단 상태 $Y^q_M$에서의 도달 가능한 집합이 $H_q^{M-k} Y^q_M$ 와 향후 입력의 영향에서 유도되는 것을 보여주며, 유도된 공식을 통해 명시적인 계산이 가능하다.