[논문 리뷰] Controllability for a population equation with interior degeneracy

Genni Fragnelli|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 06.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 내부 비선형성에 의한 분산 계수에서의 영 제어 가능성을 Carleman 추정과 컷오프 함수를 사용하여 확립한다. 제어 영역이 비선형성 점 $x_0$의 양쪽에 분리되어 있더라도, 공간 영역 내부에서 영 제어가 존재함을 증명하며, 이는 이전의 $T < A$ 또는 $T > A$인 비선형성 인구 방정식 연구를 완성한다. 핵심 결과는 약한 및 강한 비선형성 케이스 모두에 대해 초기 자료에 대해 제어 노름의 균일한 유계성을 확보하는 것이다.

ABSTRACT

We deal with a degenerate model in divergence form describing the dynamics of a population depending on time, on age and on space. We assume that the degeneracy occurs in the interior of the spatial domain and we focus on null controllability. To this aim, first we prove Carleman estimates for the associated adjoint problem, then, via cut off functions, we prove the existence of a null control function localized in the interior of the space domain. We consider two cases: either the control region contains the degeneracy point $x_0$, or the control region is the union of two intervals each of them lying on one side of $x_0$. This paper complement some previous results, concluding the study of the subject.

연구 동기 및 목표

• 분산 계수 $k(x)$ 에서 내부 비선형성 $k(x_0) = 0$ 를 가지는 인구 모델에 대해 영 제어 가능성을 확립한다.
• 제어 영역이 $x_0$ 를 포함하는 단일 구간이거나 $x_0$ 의 양쪽에 분리된 두 개의 이산 구간일 수 있도록 이전의 비선형 인구 방정식 결과를 확장한다.
• $T < A$ 및 $T > A$ 둘 다를 다루어 이러한 모델의 제어 가능성 연구를 완성한다.
• 약한 및 강한 비선형성 케이스에 모두 적용 가능한 Carleman 추정과 컷오프 함수를 사용한 통합 프레임워크를 제공한다.
• 이전 연구에서 요구한 바와 같이 $C^2$ 정규성 또는 경계 비선형성 조건을 제거하고, 출생률 $\beta$ 와 $k$ 의 정규성에 대한 제한 조건을 완화한다.

제안 방법

• 내부 비선형성에 적합한 가중 함수를 사용하여 비선형성 인구 방정식과 관련된 수반 문제에 대해 Carleman 추정을 유도한다.
• 공간 영역 내부에서 제어를 국소화하기 위해 컷오프 함수를 구성하여 제어가 오직 $\omega \subset (0,1)$ 에서만 작용하도록 보장한다.
• 수반 문제의 관측 가능성 부등식을 사용하여 쌍대성 원리를 통해 영 제어 가능성을 도출한다.
• $(x - x_0)k' \leq Mk$ 거의 모든 곳에서 $[0,1]$ 에서 성립하는 구조 조건을 확인함으로써 약한 및 강한 비선형성 케이스를 처리한다.
• 밀도 추론을 적용하여 영역의 초기 자료가 $L^2$ 일 경우에도 제어 가능성을 확장한다.
• 에너지 추정과 변수 변환을 사용하여 해를 제어 및 초기 자료에 대해 유계로 표현하고, 제어 노름에 대한 균일한 유계성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 비선형성에 의한 분산 계수를 가진 인구 방정식에 대해, 제어 영역이 비선형성 점을 둘러싸는 경우에도 영 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 이전 연구에서 $T \geq A$ 가 필요로 했던 것과 달리, $T < A$ 와 $T > A$ 둘 다에서 영 제어 가능성이 성립하는가?
• RQ3 비선형성 점 $x_0$ 가 제어 영역에 포함되어 있지 않더라도, 공간 영역 내부에서 제어를 국소화할 수 있는가?
• RQ4 약한 및 강한 비선형성 케이스 모두에서 초기 자료에 대해 제어 노름의 균일한 유계성이 확보될 수 있는가?
• RQ5 이 연구에서 사용된 방법이 비발산 형식 방정식이나 경계 비선형성 케이스로 확장 가능하여 이전 연구를 완성할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형성 인구 방정식에 대해 $T < A$ 또는 $T > A$ 여부에 관계없이 영 제어 가능성이 확립된다.
• 모든 $\delta \in (T, A)$ 이면 $T < A$ 일 때, 또는 $\delta \in (\bar{a}, A)$ 이면 $A < T$ 일 때, $f_\delta \in L^2(Q)$ 인 제어 함수가 존재하여 해 $y_\delta(T, \cdot, \cdot) = 0$ 거의 모든 곳에서 $(\delta, A) \times (0,1)$ 에서 성립한다.
• 제어 노름은 $\|f_\delta\|_{L^2(Q)} \leq C(\delta)\|y_0\|_{L^2(Q_{A,1})}$ 를 만족하며, $C(\delta)$ 는 오직 $\delta$ 에만 의존하여 균일한 안정성을 보장한다.
• 약한 및 강한 비선형성 분산 계수 $k$ 에 대해 결과가 성립하며, 각각의 $k'$ 과 $k$ 에 대한 구조 조건을 만족한다.
• Carleman 추정과 컷오프 함수를 사용한 방법은 강인하며, 비발산 형식 방정식 및 경계 비선형성 케이스로도 응용 가능하여 이전 연구를 완성한다.
• 관측 가능성 부등식 (4.46) 은 $\delta$ 에 따라 달라지는 상수 $C(\delta)$ 를 사용하여 증명되었으며, 이는 이전 연구에서 상수가 절대적이라고 잘못 기재된 오류를 수정한다.