[논문 리뷰] Controllability, Observability, Realizability, and Stability of Dynamic Linear Systems

John M. Davis, Ian Gravagne외 2명|ArXiv.org|2009. 01. 23.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 비균일한 시간 체계 위의 동적 선형 시스템에 대해 고전적인 제어 가능성, 관측 가능성, 실현 가능성 및 안정성 개념을 연속 및 이산 경우로 확장하는 통합된 선형 시스템 이론을 개발한다. 일반화된 라플라스 변환 기법을 사용하여, 제어 가능성의 필요 및 충분 조건으로서 제어 가능성 그라미안의 가역성과 질량 조건을 확립하고, 시간 불변 시스템에서 제어 가능성과 관측 가능성 조건 하에 BIBO 안정성과 지수 안정성의 동치성을 증명한다.

ABSTRACT

We develop a linear systems theory that coincides with the existing theories for continuous and discrete dynamical systems, but that also extends to linear systems defined on nonuniform time domains. The approach here is based on generalized Laplace transform methods (e.g. shifts and convolution) from our recent work \cite{DaGrJaMaRa}. We study controllability in terms of the controllability Gramian and various rank conditions (including Kalman's) in both the time invariant and time varying settings and compare the results. We also explore observability in terms of both Gramian and rank conditions as well as realizability results. We conclude by applying this systems theory to connect exponential and BIBO stability problems in this general setting. Numerous examples are included to show the utility of these results.

연구 동기 및 목표

• 비균일한 시간 체계 위의 동적 시스템에 대해 고전적인 선형 시스템 이론—제어 가능성, 관측 가능성, 실현 가능성 및 안정성—을 통합하고 확장하기.
• 비균일한 곡률에서 실패하는 기존 접근법의 한계를 극복하기 위해 일반화된 라플라스 변환 기법을 활용하기.
• 시간 변화 시스템 및 시간 불변 시스템 모두에서 제어 가능성의 필요 및 충분 조건을 제어 가능성 그라미안과 질량 조건을 통해 규명하기.
• 시간 불변 시스템에서 제어 가능성과 관측 가능성 조건 하에 BIBO 안정성과 지수 안정성의 동치성을 증명하기.
• 시간 체계의 안정성 영역 내에 극점이 위치하는 것을 기반으로 BIBO 안정성의 전달 함수 특성화 제공하기.

제안 방법

• 유계 곡률을 갖는 임의의 시간 체계에서 시스템을 분석하기 위해 일반화된 라플라스 변환 기법, 즉 이동과 커플링을 포함한다.
• 전이 행렬 $ \Phi_A $를 사용하여 제어 가능성 그라미안을 $ \mathscr{G}_{C}(t_0,t_f) = \int_{t_0}^{t_f} \Phi_A(t_0,\sigma(t)) B(t) B^T(t) \Phi_A^T(t_0,\sigma(t)) \Delta t $ 로 정의한다.
• 레그라시브 시스템의 해를 표현하기 위해 전이 행렬 $ \Phi_A(t,t_0) $ 과 행렬 지수 $ e_A(t,0) $ 를 적용한다.
• 시간 도메인 행동을 분석하기 위해 행렬 표현 $ Ce_A(t,0)B = \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^{\psi_k} N_{kj} \frac{f_{j-1}(\mu,\lambda_k)}{(j-1)!} e_{\lambda_k}(t,0) $ 를 활용한다.
• 전달 함수 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 의 부분 분수 분해를 통해 안정성 분석을 위해 안정성 영역 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 내의 극점 위치를 분석한다.
• 모순 추론과 행렬 지수 $ Ce_A(t,0)B $ 의 시간 도함수 분석을 통해 인과 응답의 감쇠가 지수 감쇠를 유도함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일한 시간 체계 위의 시간 변화 선형 시스템에서 제어 가능성은 그라미안과 질량 조건을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 시간 체계 위의 동적 시스템 맥락에서 관측 가능성과 실현 가능성은 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ3 시간 불변 시스템에서 BIBO 안정성과 지수 안정성이 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 전달 함수 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 는 극점의 위치를 기반으로 어떻게 BIBO 안정성을 판단하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 라플라스 변환은 임의의 시간 체계 위에서 연속 및 이산 시스템 이론을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제어 가능성 그라미안 $ \mathscr{G}_C(t_0,t_f) $ 는 유일하게 시스템이 $[t_0,t_f]$ 에서 제어 가능할 때만 가역적이다.
• 시간 불변 시스템에서는 지수 안정성이 BIBO 안정성을 함의하며, 제어 가능성과 관측 가능성 조건 하에 BIBO 안정성은 지수 안정성을 함의한다.
• 전달 함수 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 의 모든 극점이 시간 체계의 안정성 영역 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 내에 있을 때 유일하게 시스템은 BIBO 안정하다.
• 인과 응답 $ Ce_A(t,0)B $ 가 $ t \to \infty $ 일 때 0으로 감쇠할 때 유일하게 행렬 지수 $ e_A(t,0) $ 의 모든 고유값 $ \lambda_k $ 가 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 내에 있을 때 지수 안정성이 보장된다.
• 행렬 지수 $ e_A(t,0) $ 가 $ t \to \infty $ 일 때 0으로 수렴할 때 유일하게 시스템이 지수 안정할 때, 이는 $ \mathscr{G}_O^a e_A(t,0) \mathscr{G}_C^a $ 의 감쇠에서 유도된다.
• 곡률이 일정하지 않을 때에도 유효한 라플라스 기반 기법을 사용함으로써 이전 연구에서 발생한 오류를 피할 수 있다.