[논문 리뷰] Controllability of random systems: Universality and minimal controllability

Sean O’Rourke, Behrouz Touri|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 09.

Random Matrices and Applications참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Wigner 또는 Erdős–Rényi 랜덤 행렬과 일반적인 입력 벡터를 갖는 랜덤 선형 시스템이 시스템 크기가 커짐에 따라 높은 확률로 제어 가능하다는 것을 증명한다. 최근의 고유값 간격 보편성 이론과 역 Littlewood-Offord 이론의 발전을 활용하여, 저자들은 광범위한 랜덤 행렬 집합에 대해 제어 가능성의 보편성을 입증하며, 랜덤 인접행렬에 대한 최소 제어 가능성에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

For a large class of random matrices $A$ and vectors $b$, we show that linear systems formed from the pair $(A,b)$ are controllable with high probability. Despite the fact that minimal controllability problems are, in general, NP-hard, we establish universality results for the minimal controllability of random systems. Our proof relies on the recent developments of Nguyen-Tao-Vu concerning gaps between eigenvalues of random matrices.

연구 동기 및 목표

• Erdős–Rényi 랜덤 인접행렬 A와 표준 기저 벡터를 조합했을 때, 시스템 크기 n → ∞ 일 때 높은 확률로 제어 가능하다는 추측을 해결하기 위해.
• Wigner 및 랜덤 행렬 유형의 광범위한 집합에 대해 랜덤 시스템의 제어 가능성 보편성 수립을 위해.
• 큰 랜덤 시스템에서 최소 제어 가능성 문제가 중요한 장벽이 되지 않는 이유에 대한 이론적 기초 제공을 위해.
• 직교 불변 랜덤 행렬 집합과 단위구 표면 입력 벡터로의 분석 확장하기 위해.

제안 방법

• 단일 입력 시스템의 제어 가능성 기준으로 칼만의 랭크 조건을 사용한다.
• Nguyen, Tao, Vu의 최근 고유값 간격 결과를 적용하여, 랜덤 행렬 스펙트럼에서 작은 간격이 발생할 확률를 제어한다.
• 역 Littlewood-Offord 이론을 활용하여, A와 b의 거듭제곱으로 구성된 행렬의 핵에 랜덤 벡터가 놓일 확률를 근사한다.
• 제어 가능성 문제를 A의 고유벡터가 입력 벡터 b와 수직이 되는 확률이 낮다는 것으로 환원한다.
• 회전 불변성과 Haar 측도를 이용하여 분석을 랜덤 단위벡터 입력의 경우로 단순화한다.
• A의 i.i.d. 원소와 일반적인 b에 대해, 제어 가능성 행렬이 랭크 전부를 갖는 확률가 최소 1 - Cn^{-α} 이상임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Erdős–Rényi 랜덤 인접행렬 A에 대해, n → ∞ 일 때 쌍 (A, e_i)가 높은 확률로 여전히 제어 가능한가?
• RQ2 큰 랜덤 시스템에서 모든 1 벡터 입력인 (A, 1_n)의 제어 가능성도 높은 확률로 성립하는가?
• RQ3 Wigner 행렬을 초월하여 다른 랜덤 행렬 집합으로 제어 가능성 보편성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 일반적으로 NP-난이도인 최소 제어 가능성 문제의 행동은 큰 랜덤 시스템에서 어떻게 되는가?
• RQ5 행렬 원소의 독립성 가정이 제어 가능성 보편성에 미치는 영향은 어느 정도인가?

주요 결과

• i.i.d. 원소를 갖는 Wigner 행렬과 임의의 고정된 영이 아닌 벡터 b에 대해, 쌍 (A, b)는 어떤 α > 0 에 대해 확률 최소 1 - Cn^{-α} 이상으로 제어 가능하다.
• n → ∞ 일 때, 모든 i = 1, ..., n 에 대해 쌍 (A, e_i)는 높은 확률로 제어 가능하며, 이는 추측 1의 더 강력한 형태를 확인한다.
• 직교 불변 랜덤 행렬 M과 랜덤 단위벡터 u에 대해, (M, u)는 확률 1로 제어 가능하다.
• b가 A와 독립적인 i.i.d. 원소를 갖는 랜덤 벡터인 경우에도 결과가 확장되어 고확률 제어 가능성을 보장한다.
• b가 영이 아니면, 확률적으로 고정된 벡터이더라도 제어 가능성 확률은 여전히 높다.
• 저자들은 제어 가능성의 보편성이 광범위한 랜덤 행렬 집합에 대해 성립함을 입증하며, 이는 큰 규모의 랜덤 시스템에서 최소 제어 가능성 문제가 우려할 만한 문제로 작용하지 않는다는 것을 시사한다.