[논문 리뷰] Controllability of the Navier-Stokes equation in a rectangle with a little help of a distributed phantom force

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 05.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 직사각형 영역에서 경계 조건이 슬립 조건인 2차원 비압축성 온나시-스트로크 방정식의 소규모 시간 내 전역 정확한 경계 제어 가능성을 입증한다. 이를 위해 모든 소벨레프 노름에서 임의로 작은 분포형 허구력이 도입되며, 이는 해석적 정규화, 잘 준비된 에너지 소산 기법, 그리고 수평 해석성에만 의존하는 새로운 장기적 코시-코바레프스카야 추정을 통해 큰 경계층을 제어한다.

ABSTRACT

We consider the 2D incompressible Navier-Stokes equation in a rectangle with the usual no-slip boundary condition prescribed on the upper and lower boundaries. We prove that for any positive time, for any finite energy initial data, there exist controls on the left and right boundaries and a distributed force, which can be chosen arbitrarily small in any Sobolev norm in space, such that the corresponding solution is at rest at the given final time. Our work improves earlier results where the distributed force is small only in a negative Sobolev space. It is a further step towards an answer to Jacques-Louis Lions' question about the small-time global exact boundary controllability of the Navier-Stokes equation with the no-slip boundary condition, for which no distributed force is allowed. Our analysis relies on the well-prepared dissipation method already used for Burgers and for Navier-Stokes in the case of the Navier slip-with-friction boundary condition. In order to handle the larger boundary layers associated with the no-slip boundary condition, we perform a preliminary regularization into analytic functions with arbitrarily large analytic radius and prove a long-time nonlinear Cauchy-Kovalevskaya estimate relying only on horizontal analyticity.

연구 동기 및 목표

• 슬립 경계 조건 하에서 2차원 온나시-스트로크 방정식의 소규모 시간 전역 정확한 경계 제어 가능성에 대한 자크-루이 리옹스의 열린 문제를 해결한다.
• 이전 결과에서 음의 소벨레프 노름에서의 소형 조건에 국한되었던 것을, 임의의 소벨레프 노름에서의 더 강력한 소형 조건으로 확장한다.
• 슬립 조건에 의해 유도되는 더 큰 경계층을 다루기 위해 해석적 정규화와 정교한 에너지 추정을 통합한 프레임워크를 개발한다.
• 소벨레프 노름에서 균일하게 작은 분포형 힘을 통해 전역 근사 제어를 확립하고, 이를 바탕으로 정확한 최종 상태 제어를 가능하게 한다.

제안 방법

• 모든 소벨레프 노름 $ H^k $ 에서 임의로 작은 분포형 허구력 $ f_g $ 를 도입하여, 소형 조건을 위반하지 않으면서도 제어를 가능하게 한다.
• 경계층 불안정성을 다루기 위해 초기 자료를 임의로 큰 해석적 반경을 가진 해석 함수로 사전 정규화한다.
• 비선형 상호작용과 온나시-스트로크 시스템 내 경계층 성장을 제어하기 위해 잘 준비된 에너지 소산 기법을 적용한다.
• 수평 해석성에만 의존하는 장기적 비선형 코시-코바레프스카야 추정을 수행하며, [6, 41]의 영감을 받아 비선형 항을 유한하게 제한한다.
• 해를 근사 궤적과 잔여항으로 분해하고, 리틀우드-파일리 이론과 주파수 국소화를 통해 각각을 추정한다.
• 빠른 변수 스케일링과 레베그 노름 추정을 활용하여 경계층 프로파일의 감쇠를 분석하고 균일한 제어를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슬립 경계 조건을 가진 직사각형 영역 내 2차원 온나시-스트로크 방정식이 경계 제어와 소규모 분포형 힘만을 사용하여 소규모 시간 내에 정확히 0으로 제어될 수 있는가?
• RQ2 분포형 힘의 크기를 음의 소벨레프 공간 외에도 임의의 소벨레프 노름 $ H^k $ 에서도 임의로 작게 만들 수 있는가?
• RQ3 슬립 조건에 의해 발생하는 큰 경계층은 소규모 시간 제어 맥락에서 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 수평 해석성은 장기적 스케일에서 비선형 온나시-스트로크 시스템을 안정화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 잘 준비된 에너지 소산 기법은 나비에 슬립-마찰 조건에 비해 더 강한 경계층 효과를 갖는 슬립 조건을 다룰 수 있도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ T > 0 $, $ u_* \neq 0 $, 그리고 임의의 $ k \to \nexists $ 에 대해, $ \|f_g\|_{L^1((0,T);H^k)} \leq \eta $ 를 만족하는 분포형 힘 $ f_g \neq 0 $ 이 존재하여 해 $ u(T) = 0 $ 이 된다. 여기서 $ \eta > 0 $ 은 임의의 양수이다.
• 분포형 힘 $ f_g $ 는 임의의 소벨레프 노름 $ H^k $ 에서도 임의로 작게 만들 수 있으며, 이는 이전 결과에서 음의 소벨레프 공간에서의 소형 조건에 국한되었던 것을 향상시킨다.
• 이 방법은 수평 해석성에만 의존하는 새로운 장기적 비선형 코시-코바레프스카야 추정에 기반하며, 이는 큰 경계층이 존재하더라도 비선형 항을 제어할 수 있게 한다.
• 해는 $ C^0([0,T];L^2_{\text{div}}) \cap L^2((0,T);H^1) $ 내의 약한 레일라이 해로서, 적절한 시험 함수와 함께 약한 형식을 만족한다.
• 주파수 국소화와 지수 가중치 $ e^{\rho_0 |\partial_x|} $ 를 사용하여 근사 궤적의 해석적 정규성에 대한 균일한 추정을 확립함으로써 안정성을 보장한다.
• 빠른 변수 스케일링과 레베그 노름 추정을 통해 경계층 감쇠를 증명하며, 핵심 감쇠 결과는 경계층 프로파일에서 $ n \geq 3 $ 에 의존한다.